Mavzu: Funksiyalar kompazitsiyasining uzluksizligini isbotlash

n
= ¡ 1
tenglik bajariladi. 
Har ikkala holda ham sign funksiyaning limiti mavjud bo’lsada, ular o’zaro teng 
emas va shuning uchun, sign funktsiya 0 nuqtada limitga ega emas ekan. 
Xuddi shu xulosaga x
n 
=
( ¡ 1 )
n
ketma-ketlikni olsak ham kelamiz. Ravshanki, 
bu ketma-ketlik ham nolga yaqinlashadi, shu bilan birga, uning toq nomerli barcha 
elementlari manfiy va juft nomerli barcha elementlari esa musbatdir. Ta’rifga ko’ra, 
sign funktsiyaning mos qiymatlaridan tuzilgan ketma-ketlik 
sign x
n
= ( ¡ 1 )
n
ga teng bo’lib, ko’rinib turibdiki, u yaqinlashmaydi. Bu yana bir marta sign funktsiyaning 
0 nuqtada limit qiymatga ega emasligini tasdiqlaydi. 
Endi, xuddi shu usulda 3.1.4 - Misolda ko’rilgan D(x) Dirixle funksiyasini qaraylik. 
Agar istalgan a 2 R uchun unga yaqinlashuvchi biror fx
n
g ketma-ketlikning barcha 
elementlari ratsional bo’lsa, D(x
n
) = 1 bo’ladi va shu sababli, 
lim D ( x
n
) = 1 
tenglik bajariladi. 
Bordiyu o’sha a 2 R ga yaqinlashuvchi boshqa biror fy
n
g ketma-ketlikning 
barcha elementlari irratsional bo’lsa, D(y
n
) = 0 bo’ladi va shu sababli, 
lim D ( y
n
) = 0 
tenglik bajariladi. 
Bu ikki limitning o’zaro teng emasligidan Dirixle funktsiyasi sonlar o’qining hech 
qaysi nuqtasida limit qiymatga ega emasligi kelib chiqadi. 
Agar istalgan a nuqtaga yaqinlashuvchi fx
n
g ketma-ketlikni shunday tanlasakki, 
uning toq nomerli x
2k¡1 
elementlari ratsional va juft nomerli x
2k 
elementlari irratsional 
bo’lsa, biz yana xuddi shu xulosaga kelamiz. Haqiqatan, 
D ( x
2 k ¡ 1
) = 1; 
D ( x
2 k
) = 0 
tengliklar o’rinli bo’lib, fD(x
n
)g qiymatlar ketma-ketligi usoqlashadi. Bundan, yana 
bir bor Dirixle funksiyasining sonlar o’qining hech qaysi nuqtasida limit qiymatga 
ega emasligini olamiz. 
Bevosita limit qiymat ta’rifidan va I I bob natijalaridan navbatdagi tasdiqqa 
kelamiz. 
1.1 - Teorama. Agar 
lim f ( x ) = b ; 
lim g (x) = c 
bo’lsa, 
lim ( f + g )(x) = b + c ; 
lim ( f ¡ g )(x) = b ¡ c ; 
lim ( f ¢ g )(x) = b ¢ c 
tengliklar o’rinli bo’ladi va c = 0 bo’lgan holda 
lim 
g 
(x ) =
b 
c

---

tenglik bajariladi. 
Isbot 2.1.1, 2.1.2 va 2.1.3 - Teoremalardan va limit qiymatning ta’rifidan kelib 
chiqadi. Misol tariqasida quyidagi tenglikni isbotlaymiz: 
lim ( f + g )(x) = lim f ( x ) + lim g (x): 
(3.1.2) 
Buning uchun biz a ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy fx
n
g ketma-ketlikni qaraymiz. 
2.1.1 - Teoremaga ko’ra 
lim [f ( x
n
) + g (x
n
)] = lim f ( x
n
) + lim g (x
n
) 
tenglikni olamiz. 
Bu esa, limit qiymatning Heine ta’rifi bo’yicha, (3.1.2) tenglik o’rinli ekanini 
anglatadi. 
Q . E . D .
.1.6 - Misol. Quyidagi 
f ( x ) = a
0
x