Mavzu: Funksiyalar kompazitsiyasining uzluksizligini isbotlash

n 
2 E
ketma-ketligi uchun mos f (x
n
) qiymatlar ketma-ketligi b ga yaqinlashsa, b son f (x) 
funksiyaning x ! + 1 dagi limiti deyiladi. 
Agar b son f (x) funksiyaning x ! + 1 dagi limiti bo’lsa, 
x
lim f ( x ) = b 
(3.1.13) 
kabi yoziladi. 
Koshi ma’nosidagi bunga mos ta’rif quyidagi ko’rinishga ega: 
T a ’r if (A. L. C a u ch y ). B e r i l g a n f funksiya yuqoridan chegaralanmagan E ‰ R
to’plamda aniqlangan bo’lsin. Agar istalgan " > 0 olganda ham shunday A > 0 son 
topilsaki, x > A shartni bajaruvchi barcha x 2 E lar uchun 
j f (x) ¡ bj < " 
(3.1.14) 
tengsizlik bajarilsa, b son f (x) funksiyaning x ! + 1 dagi limiti deyiladi.

---

Xuddi funksiyaning nuqtadagi limiti holidak, x ! + 1 dagi limitning Geyne va 
Koshi ta’riflari teng kuchli ekanligini isbotlash mumkin. 
3.1.7 - Misol. Quyidagi ratsional funksiya 
f ( x ) =
x
; 
x = 0; 
(3.1.15) 
x ! + 1 da 0 ga teng bo’lgan limitga ega. Bu tasdiqning haqligi istalgan x
n 
! + 1
ketma-ketlik uchun unga mos ff (x
n
g ketma-ketlik nolga intilishidan kelib chiqadi: 
x
lim f ( x ) = 0: 
Agar funksiya quyidan chegaralanmagan to’plamda aniqlangan bo’lsa, xuddi 
yuqoridagi singari, x ! ¡ 1 da Geyne va Koshi ma’nosida limit tushunchalari 
kiritiladi. Bu ikki limit ta’riflari teng kuchli bo’lishi aniq. Agar b son f (x) funksiyaning 
x ! ¡ 1 dagi limiti bo’lsa, 
x
l i m
1
f ( x ) = b 
(3.1.16) 
kabi yoziladi. 
3.1.8 - Misol. Quyidagi 
f ( x ) =
1 + jxj
; 
¡ 1 < x < + 1  
(3.1.17) 
funksiya x ! + 1 da 1 ga teng bo’lgan limitga ega: 
x
lim f ( x ) = 1; 
x ! ¡ 1 da esa, ¡1 ga teng bo’lgan limitga ega: 
x
l i m
1
f ( x ) = ¡ 1 :
Keltirilgan tengliklarni isbotlash uchun (3.1.17) funksiyani x > 0 bo’lganda 
f ( x ) =
1 + 1=x
; 
x > 0 
ko’rinishda va x < 0 bo’lganda esa, 
f ( x ) = ¡
1 ¡ 1=x
; 
x < 0 
ko’rinishda yozib olib, 3.1.7 - Misol xulosasini qo’llash yetarli. 
Shunday qilib, bu misolda yuqoridagi ikki limit har xil bo’lib chiqdi. 
Agar f (x) funksiyaning ham x ! + 1 dagi, ham x ! ¡ 1 dagi limitlari mavjud 
bo’lib, bitta b soniga teng bo’lsa, bu b soni f (x) funksiyaning x ! 1 dagi limiti 
deyiladi va 
lim f ( x ) = b 
(3.1.18) 
kabi yoziladi. 
Ba’zan 
x
l i m
1
f ( x ) = b 
(3.1.19) 
belgilashdan ham foydalaniladi. 
3.1.9 - Misol. Ixtiyoriy ratsional 
a
0
x
n
+ a
1
x
n ¡ 1
+ a
2
x
n ¡ 2
+ ¢ ¢ ¢ + a
n ¡ 1
x + a
n
b
0
x
m
+ b
1
x
m ¡ 1
+ b
2
x
m ¡ 2
+ ¢ ¢ ¢ + b
m ¡ 1
x + b
m

---