Mavzu: Funksiyalar kompazitsiyasining uzluksizligini isbotlash

j f (x) ¡ bj ‚ " 
(3.1.6) 
tengsizlik bajariladi. 
Biz – > 0 sonning ixtiyoriyligidan foydalanib, unga ketma-ket 1; 
2
; 
3
; :::; 
n
; :: 
qiymatlarni berishimiz mumkin. Har bir – =
uchun shunday x
n 
son topiladiki, 
u uchun 
0 < jx
n
¡ aj <
n 
(3.1.7) 
tengsizlik o’rinli bo’lib, (3.1.6) tengsizlik quyidagi ko’rinishga keladi: 
j f ( x
n
) ¡ bj ‚ ": 
(3.1.8) 
Ravshanki, (3.1.7) va (3.1.8) shartlar birgalikda x
n 
! a bo’lib, ff (x
n
)g ketma-
ketlik b ga yaqinlashmasligini anglatadi. Demak, b son f funktsiyaning Heine ma’nosida 
limit qiymati bo’la olmas ekan. Hosil bo’lgan qarama-qarshilik teoremani isbotlaydi. 
Q . E . D .
Eslatma. f funksiyaning biror a nuqtadagi limit qiymatini ta’riflayotgan vaqtda 
bu funksiyaning D ( f ) aniqlanish sohasi a nuqtaning biror atrofini butunlay o’z 
ichiga olishini talab qilishga zaruriyat yo’q. Buning o’rniga a ga yaqinlashuvchi va 
D ( f ) ga tegishli bo’lgan biror x
n 
ketma-ketlikning topilishini talab qilish yetarlidir. 
Bundan chiqdi, biz berilgan E to’plamning istalgan limit nuqtasi uchun f funksiyaning 
limit qiymatini aniqlashimiz mumkin ekan. 
6. Sonlar o’qining tartiblanganligi funksiyaning bir taraflama limit qiymati tushunchasini 
kiritish imkonini beradi. Biz bu imkoniyatni 3.1.3 - Misolda o’rganilgan signum 
funksiyasi misolida ko’rishimiz mumkin. Bu funksiyaning grafigidan ko’rinadiki, 
agar x nuqta 0 ga chapdan (ya’ni 0 dan kichik bo’lib) yaqinlashsa, sign x funksiya 
¡ 1 ga yaqinlashadi, bordiyu x nuqta 0 ga o’ngdan (ya’ni faqat musbat bo’lib) 
yaqinlashsa, sign x funksiya 1 ga yaqinlashadi. Demak, bu funksiya 0 nuqtada

---

limit qiymatga ega bo’lmasada, ammo u xuddi shu nuqtada o’ng va chap limit 
qiymatlarga ega bo’lar ekan. 
Bundan buyon, funksiyaning a nuqtadagi o’ng limiti haqida gapirganda, biz 
bu funksiyaning aniqlanish sohasi yetarlicha kichik h > 0 lar uchun (a; a +
h) ko’rinishdagi intervalni o’z ichiga olishini talab qilamiz. Bunday intervalni a 
nuqtaning o’ng yarim atrofi deb ham atashadi. 
Xuddi shu singari, agar berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi (a¡h; a) ko’rinishdagi 
intervalni o’z ichiga olsa, bunday funksiyani a nuqtaning chap yarim atrofida 
aniqlangan deb atashadi. Biz funksiyaning chap limiti haqida gapirganda, uni qaralayotgan 
nuqtaning aynan chap yarim atrofida aniqlangan deb faraz qilamiz. 
T a’rif (H.E .H ein e). B eril g a n f funksiya a nuqtaning biror o’ng yarim atrofida 
aniqlangan bo’lsin. Agar a ga yaqinlashuvchi va x
n 
> a shartni qanoatlantiruvchi 
argumentning istalgan x
n
ketma-ketligi uchun unga mos f ( x
n
) qiymatlar ketma-
ketligi b ga yaqinlashsa, u holda b sonini f funksiyaning a nuqtadagi o’ng limiti 
deymiz. 
Agar b soni f funktsiyaning a nuqtadagi o’ng limiti bo’lsa, 
kabi yoziladi. 
Ba’zan bundanda qisqa 
x
lim 
0 
f ( x ) = b 
f ( a + 0) = b 
(3.1.9) 
(3.1.10) 
belgilashdan ham foydalaniladi. 
Biror nuqtadagi o’ng limit shu nuqtadagi o’ngdan limit deb ham ataladi. 
Xuddi yuqoridagidek, f funksiyaning a nuqtadagi chap limiti yoki chapdan limiti 
tushunchasi ham kiritiladi, ya’ni, agar 
[x