Mavzu: Funksiyalar kompazitsiyasining uzluksizligini isbotlash

n
2 D ( f ) ] ^ [x
n
< a] ^ [x
n
! a] ) ( f ( x
n
) ! b) 
bo’lsa, b shunday limit deyiladi. 
Bunda quyidagi belgilashlardan foydalaniladi: 
x
lim 
0 
f ( x ) = f (a ¡ 0) = b : 
(3.1.11) 
Aniqki, 3.1.3 - Misoldagi signum funksiyasi uchun quyidagi tengliklar o’rinli: 
sign (0 ¡ 0) = ¡ 1 ; sign (0 + 0) = + 1: 
O’ng va chap limitlar bir tomonli limitlar deyiladi. Bunda avval kiritilgan oddiy 
limit qiymatini ba’zan ikki taraflama limit deb atashadi. 
Agar biror nuqtada chap va o’ng limitlar o’zaro teng bo’lmasa, bu nuqtada limit 
qiymat mavjud bo’lmaydi. Ushbu tasdiqni isbotlashdan avval biz o’ng va chap 
limitlarning Koshi bo’yicha ta’rifini beramiz. 
T a ’r if (A. L. C a u ch y ). B e ri l g a n f funksiya a nuqtaning biror o’ng yarim atrofida 
aniqlangan bo’lsin. Agar istalgan " > 0 olganda ham shunday – > 0 topilsaki, 
a < x < a + – 
shartni qanoatlantiruvchi argumentning barcha x qiymatlari uchun 
j f (x) ¡ bj < " 
(3.1.12) 
tengsizlik o’rinli bo’lsa, b son f funksiyaning a nuqtadagi o’ng limiti deyiladi.

---

M A T E M A T I K T A H L I L
9 
Xuddi shu singari, funksiyaning a nuqtadagi Koshi bo’yicha chap limiti b ta’riflanadi: 
(8" > 0)(9– > 0) : [x 2 D ( f ) ] ^ [a ¡ – < x < a] ) [j f (x) ¡ bj < "]: 
3.1.3 - Teorema. Bir taraflama limitning Heine va Koshi bo’yicha ta’riflari 
teng kuchlidir. 
Bu tasdiqni quyidagicha ham aytish mumkin: b son funksiyaning a nuqtadagi 
Koshi ma’nosida o’ng (chap) limiti bo’lishi uchun uning shu nuqtada Heine ma’nosida 
o’ng (chap) limit bo’lishi zarur va yetarli. 
Isbot ikki taraflama limit haqidagi 3.1.2 - Teoremaning isboti kabi olib boriladi. 
Ravshanki, agar f funksiya a nuqtaning, shu nuqtani o’zi tegishli bo’lishi shart 
bo’lmagan, biror atrofida aniqlangan bo’lib, shu nuqtada b limitga ega bo’lsa, u shu 
a nuqtada ham chap, ham o’ng limitlarga ega bo’lib, bu limitlar b ga teng bo’ladi. 
Bu tasdiqning teskarisi ham o’rinli. 
3.1.4 - Teorema. Agar f funksiyaning a nuqtada o’ng va chap limitlari mavjud 
va o’zaro teng bo’lsa, u holda f funksiyaning shu nuqtada limiti mavjud bo’lib, 
quyidagi tengliklar bajariladi: 
lim f ( x ) = f ( a + 0) = f (a ¡ 0): 
Isbot bevosita bir taraflama limitlarning ta’riflaridan kelib chiqadi. 
Chunonchi, agar b son chap limitga teng bo’lsa, istalgan " > 0 olganda ham 
shunday –
1 
> 0 ko’rsatish mumkinki, a¡–
1 
< x < a intervalda yotuvchi argumentning 
barcha x qiymatlari uchun (3.1.12) bajariladi. 
Xuddi shu singari, agar b son o’ng limitga teng bo’lsa, shunday –
2 
> 0 ko’rsatish 
mumkinki, a < x < a + –
2 
intervalda yotuvchi argumentning barcha x qiymatlari 
uchun (3.1.12) bajariladi. 
Shunday ekan, – = minf–
1
; –
2
g desak, (3.1.12) tengsizlik 
0 < jx ¡ aj < – 
shartni qanoatlantiruvchi argumentning barcha x qiymatlarida bajariladi. 
Bu esa b son f funksiyaning a nuqtadagi limiti ekanini anglatadi. 
Q . E . D .
7. Funksiya chegaralanmagan to’plamda berilgan hollarda funksiyaning argumenti 
cheksizlikka intilgandagi limiti tushunchasini kiritish mumkin. 
T a’rif (H.E .H ein e). B eri l g a n f funksiya yuqoridan chegaralanmagan E ‰ R
to’plamda aniqlangan bo’lsin. Agar argumentning +1 ka intiluvchi istalgan x