Mavzu: Funksiyalar kompazitsiyasining uzluksizligini isbotlash

n
+ a
1
x
n ¡ 1
+ a
2
x
n ¡ 2
+ ¢ ¢ ¢ + a
n ¡ 1
x + a
n
ko’phad istalgan a 2 R nuqtada f ( a) ga teng limit qiymatga ega. Bu tasdiq 
3.1.1 - Teoremani chekli marta o’zgarmas funksiya va birlik f (x) = x funksiyaga 
qo’llashdan kelib chiqadi (3.1.5 - Misolga qarang). 
5. Funksiyaning limit qiymati ta’rifini boshqacha ko’rinishda ham berish mumkin. 
Chunonchi, agar a nuqtaning yetarlicha kichik atrofida f funksiyaning qiymatlari 
b dan kam farq qilsa (boshqacha aytganda, x nuqta a ning –-atrofida yotib, – > 0 
yetarlicha kichik bo’lganda f (x) qiymatlar b sondan " dan kichik songa farq qilisa, 
ya’ni b ning "-atrofida yotsa), biz b sonni f funksiyaning a nuqtadagi limit qiymati 
deyishimiz mumkin. 
T a ’r if ( A. L. C a u ch y ). B e r i l g a n f funksiya a nuqtaning, shu nuqtani o’zi kirishi 
shart bo’lmagan, biror atrofida aniqlangan bo’lsin. Agar istalgan " > 0 olganda ham 
shunday – > 0 topilsaki, 
0 < jx ¡ aj < – 
shartni qanoatlantiruvchi argumentning barcha x qiymatlari uchun 
j f (x) ¡ bj < " 
(3.1.3) 
(3.1.4) 
tengsizlik bajarilsa, b sonini f funksiyaning a nuqtadagi limit qiymati deymiz. 
(3.1.3) tengsizlikning chap qismi x = a ekanini anglatadi, ya’ni (3.1.4) tengsizlik 
a nuqtaning –-atrofida yotuvchi va, umuman aytganda, a ga teng bo’lmagan argumentning 
barcha x qiymatlari uchun bajarilishini bildiradi. Demak, xuddi yuqoridagi Heine 
ta’rifi singari, limit qiymat a nuqtada aniqlanmagan funksiyalar uchun ham aniqlanishi 
mumkin va bordiyu funksiya bu nuqtada aniqlangan bo’lsa, ta’rifga ko’ra, f funksiyaning 
a nuqtadagi limit qiymati f (a) bilan ustma-ust tushishi shart emas. 
Limit qiymatning Koshi va Heine bo’yicha ta’riflari teng kuchli ekanligi intuitiv 
tushunarlidir. Biz bu tasdiqni quyidagi teoremada isbotlaymiz. 
3.1.2 - Teorema. Berilgan f funksiya a nuqtaning, shu nuqtani o’zi kirishi 
shart bo’lmagan, biror atrofida aniqlangan bo’lsin. U holda, b son f funksiyaning a 
nuqtadagi Koshi ta’rifi bo’yicha limit qiymati bo’lishi uchun bu son f funksiyning 
a nuqtadagi Heine ma’nosida limit qiymati bo’lishi zarur va yetarli. 
Isbot. 1) Avval b son f funksiyaning a nuqtadagi Koshi ma’nosidagi limit 
qiymati bo’lsin. Demak, ta’rifga ko’ra, istalgan " > 0 uchun shunday – > 0 
topiladiki, (3.1.3) shartdan (3.1.4) kelib chiqadi.

---

M A T E M A T I K T A H L I L
7 
Qaralayotgan f funksiyaning aniqlanish sohasidan x
n 
= a shartni qanoatlantirib, 
a songa yaqinlashuvchi istalgan f x
n
g ketma-ketlikni olaylik. Ravshanki, biror N
nomerdan boshlab bu ketma-ketlikning barcha elementlari a nuqtaning –-atrofida 
yotadi, u holda xuddi shu nomerdan boshlab f f ( x
n
) g ketma-ketlikning barcha 
elementlari, (3.1.4) ga ko’ra, b nuqtaning "-atrofiga tushadi. Demak, f ( x
n
) ! b, 
ya’ni b son f funksiyaning Heine ma’nosida ham limit qiymati bo’lar ekan. 
2) Endi b son f funksiyaning a nuqtadagi Heine ma’nosida limit qiymati bo’lsin. 
Biz b Koshi ma’nosida ham limit qiymat bo’lishini, ya’ni 
(8" > 0)(9– > 0) 8x(0 < jx ¡ aj < –) : (j f (x ) ¡ bj < ") 
(3.1.5) 
ekanini ko’rsatishimiz zarur. 
Bu tasdiqni teskarisini faraz etish usuli bilan isbotlaymiz. 
Demak, faraz qilamiz, b Koshi ma’nosida limit qiymat bo’lmasin, ya’ni (3.1.5) 
mulohazaning teskarisi: 
(9" > 0)(8– > 0) 9x(0 < jx ¡ aj < –) : (j f (x ) ¡ bj ‚ ") 
o’rinli bo’lsin. 
Boshqacha aytganda, shunday " > 0 son mavjudki, istalgan – > 0 olganda ham 
(0 < jx ¡ aj < –) to’plamdan shunday x topiladiki, u uchun