Mavzu: Funksiyalar kompazitsiyasining uzluksizligini isbotlash

f ( x ) =
x
2 
+ x ¡ 2 
: 
Bu funksiya, maxraji nolga aylanadigan ikki x = 1 va x = ¡ 1 nuqtalardan 
tashqari, barcha nuqtalarda aniqlangan bo’lib, f (1) v a f ( ¡ 1 ) ifodalar ma’noga ega 
emas. Shunday bo’lsada, agar x = 1 nuqtaning atrofida bu funksiya qiymatlariga 
e’tibor bersak, f (1) ga biror ma’no berishimiz mumkin bo’ladi. Haqiqatan, yetarlicha 
kichik fi sonni olib, x = 1 + fi deylik. U holda 
f ( x ) = f (1 + fi) =
(1 + fi)
2 
+ (1 + fi) ¡ 2 
=
3 + fi
: 
Endi, agar fi nolga intilsa, ya’ni x = 1 + fi birga intilsa, f ( x ) qiymatlar 
3 
ga 
intiladi. Shuning uchun biz 
3 
sonni f funksiyaning x = 1 nuqtadagi limit qiymati 
deyishimiz mumkin. 
T a’ rif ( H . E . H e i n e ) . f funksiya a nuqtaning, shu nuqtani o’zi kirishi shart 
bo’lmagan, biror atrofida aniqlangan bo’lsin. Agar a ga yaqinlashuvchi va x
n
=
a shartni qanoatlantiruvchi argumentning ixtiyoriy x
n
ketma-ketligi uchun f ( x
n
)
qiymatlar ketma-ketligi b songa yaqinlashsa, ana shu b sonini f funksiyaning a 
nuqtadagi limit qiymati deymiz. 
Agar b soni f funksiyaning a nuqtadagi limit qiymati bo’lsa, 
lim f ( x ) = b 
(3.1.1) 
deb yoziladi. 
Shuni aytish kerakki, ta’rifdagi x
n 
= a shart qaralayotgan funksiyaning a nuqtada 
aniqlanmagan bo’lishiga imkon beradi (bu holni yuqoridagi misolga ko’rdik). Agarda 
f funksiya a nuqtada aniqlangan bo’lsa, qayd etilgan shartdan f funksiyani a 
nuqtadagi limit qiymatining, umuman aytganda, f (a) bilan ustma-ust tushmasligi 
kelib chiqadi. 
Funksiyaning a nuqtadagi limit qiymatini funksiyaning a nuqtadagi limiti ham 
deb ataladi. 
Sonlar o’qining har bir nuqtasida limit qiymatga ega bo’lgan funksiyaga misol 
sifatida, barcha x 2 R larda bitta c qiymatni qabul qiladigan, f (x) = c o’zgarmas 
funksiyani olishimiz mumkin. Ravshanki, har bir a 2 R nuqtada bu funksiyaning 
limit qiymati c ga tengdir. 
Navbadagi misol, ko’rinishdan ancha sodda bo’lishiga qaramasdan, juda muhimdir. 
1.5 - Misol. Quyidagi 
f ( x ) = x
birlik funksiya butun sonlar o’qida aniqlangan bo’lib, istalgan a 2 R nuqtadagi 
limit qiymati a ga tengdir: 
lim x = a : 
Limit nuqta ta’rifidagi yana bir narsaga ahamiyat beraylik. Unda aytilishicha, 
argumentning a ga intiluvchi istalgan f x
n
g ketma-ketligi uchun f f ( x
n
g ketma-
ketlik b ga yaqinlashishi zarur. 
Endi 3.1.3 - Misoldagi sign x funksiyani qaraymiz. Agar biror fx
n
g ketma-ketlik 
uchun x
n 
> 0 va x
n
! 0 shartlar bajarilsa, sign x
n 
= 1 bo’lib, shu sababli, 
lim sign x
n
= 1

---

M A T E M A T I K T A H L I L
5 
bo’ladi. 
Agar boshqa biror ketma-ketlik hadlari y
n 
< 0 shartni qanoatlantirib, y
n 
! 0 
bo’lsa, sign y
n 
= ¡ 1 bo’ladi va shu sababli, 
lim sign y