Mavzu: Matematikada chiziq tushunchasining kiritilishi va uni o’qitish metodikasi Bajardi: 4-a guruh talabasi D. Buvasherov Ilmiy rahbar: dots. S. X. Abjalilov

1.3 Ellips, giperbola va parabolalarni konus kesimlari
yordamida namoyon bo‘lishi

Ikki qo‘zg‘almas F₁ va F₂ nuqtalargacha bo‘lgan masofalarning yig‘indisi o‘zgarmas M nuqtaning chizgan egri chizig‘ini qaraylik. Qog‘ozni partaga chizmadagidek ikki mix bilan mahkamlaymiz. Mixlar orasidagi masofadan uzun bo‘lgan ipning uchlarini ikki mixga bog‘laymiz. Qalamni uchini ipni tarangligini saqlagan holda qog‘oz ustida siljitamiz. Shunda qog‘ozda ellips deb ataluvchi chiziq hosil bo‘ladi (4-rasm). Тa’rifda aytilgan masofa ipni uzunligiga teng. Mixlar joylashgan nuqtalar fokuslar deb yuritiladi. Fokus so‘zi “o‘choq”, “olov” ma’nolarini beradi va ellipsda ajoyib xossalarga ega nuqtalar sanaladi.

4-rasm
Agar silliq qilib tarashlangan metall plastinka ellips yoyi bo‘ylab chizmadagidek joylashtirilsa va birinchi qokusdan yorug‘lik manba’si joylashtrilsa, u holda barcha yorug‘lik nurlari metall plastinkaga urilib ikkinchi fokusda kesishadi (5-rasm).

5-rasm
Fokuslari orqali to‘g‘ri chig‘iq o‘tkazilsa, u ellipsdan A₁A₂ ellipsni katta o‘qini hosil qiladi. kesmani o‘rta perpendikulyari ellipsdan B₁B₂ kichik yarim o‘qini hosil qilamiz (6-rasm). A_1, A_{2 ,}B_1, B₂ nuqtalar ellipsning uchlari deyiladi. Ellipsning har ikkala o‘qi ham uning simmetriya o‘qlari bo‘ladi.

6-rasm
Тa’rifga va ellipsning yasalishiga e’tibor qiladigan bo‘lsak, ipning uzunligi ellipsni katta o‘qiga teng bo‘lib, boshqacha aytganda ellipsdagi istalgan nuqtadan fokuslargacha bo‘lgan masofalarning yig‘indisi katta o‘qqa tengligi kelib chiqadi. Bundan, kichik o‘qi uchidan har ikkala fokuslargacha bo‘lgan masofa katta o‘q yarmiga tengligi kelib chiqadi. Shuning uchun ellips uchlarini bilgan holda uning fokuslarini topish qiyin emas.
Ellipsni katta o‘qini diametr qilib aylana chizamiz. Aylananing ixtiyoriy N nuqtasidan ellipsni M nuqtasida kesib o‘tuvchi diametrga NP perpendikulyar tushiramiz. Ko‘rinib turibdiki, NP kesma MP kesmadan bir yencha marta katta (7-rasm).

7-rasm
Agarda ixtiyoriy boshqa N^/ nuqta olinganda ham, yuqoridagidek necha marta katta bo‘lgan bo‘lsa, shuncha marta katta bo‘lgan kesmani hosil qilish mumkin.

Boshqacha aytganda, ellipsni unga tashqi chizilgan aylana yordamida aylana nuqtalarining katta o‘qqacha masofalarini shu nisbat kabi qisqartirishdan hosil qilinar ekan. Bu usul bilan ellipsni nuqtalar bo‘yicha sodda ko‘rinishda yasash mumkin. Ya’ni, biror aylana chiamiz. Uning barcha nuqtalarini istalgan diametriga perpendikulyar ravishda biror son marta yaqinlashtiramiz (masalan 3/2, 2, 3 va hakazo). Natijada katta o‘qi shu aylana diametri bo‘lgan ellipsni hosil qilamiz.
Biz kundalik hayotimizda ellipsga juda kup duch kelamiz. Masalan, stakanni qiya ushlaganimizda undagi suv sathi ellipsni namoyon etadi. Shuningdek, silindr va konusni o‘qiga qiya tekislik bilan kesganimizda ham ellips shaklini hosil qilamiz (8-rasm).



8-rasm

Buyuk astranom Kepler (1571-1630) planetalarning quyosh atrofida ellips bo‘yicha aylanishini va shu bilan birga quyosh ellipslarning fokusida joylashganligini asoslab bergan. Planetaning quyoshga eng yaqin kelgan A₁ nuqtasini perigeliy, quyoshdan eng uzoqlashgan A₂ nuqtasini afeliy deb nomlaydilar. Masalan, Yer shari perigeliy nuqtada qish faslida, afeliy nuqtada yozda bo‘ladi. Yer shari harakatlanayotgan ellips aylanaga juda yaqin hisoblanadi (9-rasm).

9-rasm
Qog‘ozda ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq chizamiz. Shu bilan birga unda yotmagan biror F nuqta olamiz. Qalam yordamida M nuqtani shunday siljitaylikki, bu nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha va F nuqtagacha bo‘lgan masofa tengligi saqlansin. Bu chiziqni yasash uchun berilgan to‘g‘ri chiziqqa chizg‘ichni quyamiz. Тo‘g‘ri burchakli chizg‘ich S uchiga ipni bir uchini mahkamlab, uzunligini chizg‘ichga tayanmagan katetga teng qilib F nuqtaga mahkamlaymiz. Qalamni ipni erkin katetga tekkizgan holda to‘g‘ri burchakli chizg‘ichni chizg‘ich bo‘g‘lab siljitamiz. Natijada qalam chizayotgan chiziqdagi nuqtalar

shartni bajaradi. Bu chiziqning nomi parabola deb yuritiladi. Uning to‘laroq chizmasini hosil qilish uchun kateti uzunroq to‘g‘ri bo‘rchakli chizg‘ich olish mumkin (10-rasm).
F nuqta parabolaning fokusi, fokusdan o‘tib berilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar to‘g‘ri chiziq parabolaning simmetriya o‘qi, to‘g‘ri chiziqning o‘zi esa parabolaning direktrisasi deyiladi.

10-rasm
Agar tekis tarashlangan metall plastinkani parabola shakliga keltirib, uning fokusiga yorug‘lik manba’ini joylashtiramiz. Plastinkadan qaytgan yorug‘lik nurlari uning o‘qiga parallel ravishda yo‘naladi. Yoki aksincha parabola o‘qiga parallel yorug‘lik nurlari plastinkaga jo‘natilsa ular plastinkadan qaytib fokusda kesishadi.
Parabolaning ushbu xossasidan mashinalarning faralarini, katta ko‘cha chiroqlarini yasalishida qo‘llaniladi. Ular plastinka shaklida emas, balki parabolani o‘z o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan paraboloid deb ataluvchi sirt shaklida yasaladi (11-rasm).


12-rasm
Agar o‘zgarmas tezlik v bilan snaryad gorizontga turli qiyalikda otilsa, unga mos turli parabola va turli uzoqlikka erishiladi. Snaryadni eng uzoq tushishi uchun uni 45⁰ li burchak ostida otish lozim. Bu uzoqlik ga teng bo‘ladi (bu yerda g erkin tushish tezlanishi). Agar snaryad tik otilsa eng katta uzoqlikning yarmiga teng masofagacha ko‘tarila oladi. Qizig‘i shundaki, barcha burchak bo‘ylab otilgan snaryadlar parabolalar havfsizlik parabolsi deb ataluvchi paraboladan chivib keta olmaydi (13-rasm).

13-rasm
Ellipsga o‘xshash M nuqtani avvaldan berilgan ikki nuqtagacha bo‘lgan masofalarning yig‘indisi emas, balki ayirmasi o‘zgarmaydigan qilib siljitishdan yana bir egri chiziqni hosil qilish mumkin.
Giperbolani yasash uchun birinchi navbatla uning o‘qlarini tasvirlaymiz. Unda F₁ va F₂ fokuslarni tasvirlaymiz. So‘ngra markazdan oldindan berilgan m masofaning yarmiga teng masofalarda A₁ va A₂ giperbolani uchlarini qo‘yamiz. Fokuslar orasidagi masofaning yarmi kbadratidan m/2 masofa kvadratini ayirib kvadrat ildiz chiqarish bilan yangi masofa kelib chiqadi. Bu masofani fokuslar yotgan o‘qqa perpendikulyar o‘qda har ikkala tarafga qo‘yish bilan giperbolaning ikkinchi B₁ va B₂ uchlarini ham hosil qilamiz. PQRS to‘g‘ri to‘rtburchakni chizamiz va uning diagonalarini chizamiz. A₁ va A₂ nuqtalardan o‘tib o‘qlarga simmetrik PR va QS asimptotalarga ega egri chiziq chizamiz.
Xususiy holda PQRS to‘g‘ri to‘rtburchak kvadratdan iborat bo‘lishi ham mumkin. Bu holatda asimptotalar o‘zaro perpendikulyar bo‘ladi. Bunday giperbola teng tomonli giperbola deb yuritilib? 14-rasmda aynan shunday giperbola tasvirlangan.

14-rasm
Qulaylik uchun bu giperbolani 45⁰ ga buramiz (15-rasm). Natijada maktab matematika kursida o‘rganiladigan teskari proportsionallik deb ataluvchi y=k/x funksiyani grafigiga ega bo‘lamiz.

15-rasm
Teskari proportsionalik koeffitsiyenti k giperbola o‘lchami bilan qanday bog‘langanligini tekshiramiz. A₂ uchni qaraymiz. Uning uchun
x=OK, y=KA₂;
kesmalar gipotenuzasi OA₂ bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning katetlari vazifasini bajaradi.
Shuning uchun

Munosabatlardan kelib chiqadi. Boshqa tarafdan y=k/x teskari proportsionallikdan xy=k, yoki qaralayongan holatda (x=y) x²=k hosil qilinadi. Boshqa so‘z bilan aytadigan bo‘lsak, k teskari proportsionallik koeffitsiyenti giperbola haqiqiy o‘qi kvadratining sakkizdan biriga teng bo‘lar ekan.
Yuqorida ta’kidalanganidek, konusni tekislik kesganimizda biz ko‘ribo‘tgan chiziqlar namoyon bo‘ladi. Masalan tekislik konus asosidan o‘tmasa kesimda ellips, tekislik asos bilan hosil qilgan burchagi yasovchi asos bilan hosil qilgan burchakdan kichik burchak hosil qilsa kesimda parabola, tekislik asos bilan hosil qilgan burchagi yasovchi asos bilan hosil qilgan burchakdan katta burchak hosil qilsa kesimda giperbola hosil bo‘ladi (16-rasm). Shuning uchun ellips, parabola va giperbolalar konuis kesimlari deyiladi.

16-rasm
Biz ko‘rib turgan konus tuliq konus deb yuritilmaydi. Bu konusda faqat ellipsgina to‘liq ko‘rinadi. Aslida konus deyilganda ikki kesishuvchi to‘g‘ri chiqni simmetriya o‘qi atrofida aylantirishdan hosil qilingan sirtga konus deyiladi. Bu konusda har uchala chiziq to‘liq namoyon bo‘ladi (17-rasm).



17-rasm