Mavzu: Matematikada chiziq tushunchasining kiritilishi va uni o’qitish metodikasi Bajardi: 4-a guruh talabasi D. Buvasherov Ilmiy rahbar: dots. S. X. Abjalilov

To’rtinchi va undan yuqori tartibli algebraik chiziqlar.
Paskal chig’anog’i. Paskal chig’anog’ining tenglamasi Dekart koordinatalar sistemasida

Parametrik tenglamasi

Qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi.

21-rasm
Kardioida. Kardioida tenglamasining Dekart koordinatalar sistemasidagi ko’rinishi:
;
parametrik shakldagi tenglamasining ko’rinishi
;
Qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasi ko’rinishi bo’ladi.
22-rasm
Astroida tenglamasining Dekart koordinatalar sistemasidagi ko’rinishi:

Parametrik shakldagi tenglamasining ko’rinishi

bo’lib, uning oshkormas shakldagi tenglamasi ko’rinishda bo’ladi. U 6-tartibli egri chiziqdir.

23-rasm
2.2. Transsendent chiziqlar


Sikloida. Sikloidalarni ko‘plab mashhur matematiklar o‘rganishgan. Ushbu egri chiziqlarni mufassal tekshirgan dastlabki olimlardan biri mashhur olim Galileo Galileydir (1564-1642). Biroq, Galileyning bu borada omadi chopgan deyish qiyin. Xususan u, sikloida va tekislik orqali chegaralangan yuzani hisoblashga ko‘p bora urinib, buni uddalay olmagan. U hatto metall plastinadan xuddi shunday egri chiziqli shaklni yasab, uning yuzasini sof fizik o‘lchashlar orqali ham hisoblamoqchi bo‘lgan, lekin baribir maqsadiga yeta olmagan. Ushbu shaklning yuzini aniq hisoblashga birinchi bo‘lib Rene Dekart (1598-1650) erishgan. U ga teng bo‘lib, bunda r-sikloida chizayotgan aylana radiusi. Dekartdan so‘ng Jil Roberval (1602-1675) ushbu egri chiziq chizayotgan yoy uzunligini hisoblab chiqdi. Ushbu yoy ham juda sodda matematik formula orqali ifodalanadi: L=8a. Ushbu egri chiziq bundan tashqari, ancha yillar davomida ko‘plab olimlar va muhandislar uchun chaqilmas toshyong‘oq bo‘lib kelgan ikkita muhim masalani yechish uchun ham xizmat qildi.
Ulardan birinchisi braxistoxrona haqidagi masala bo‘lgan. Ushbu masalada, o‘ziga ta'sir qilayotgan kuch tufayli maksimal tezlikka ega bo‘lgan jismning qanday egri chiziqli trayektoriya chizishini aniqlash kerak bo‘ladi. Ya'ni, bunda jism o‘zi chizishi kerak bo‘lgan trayektoriyani eng qisqa vaqt mobaynida chizib ulguradi. Ushbu masalani 1696-yilda Iogann Bernulli yechgan edi. Yechim sikloida bo‘lib chiqqan.
Ikkinchi muhim masala esa tautoxron egri chiziq haqidagi masala bo‘lib, u mayatnikning qo‘yilgan shartlar asosida, mayatnikning og‘irlik markazi chizishi lozim bo‘lgan egri chiziqni aniqlashdan iborat edi. Shart esa, mayatnik uchun shunday og‘irlik markazini topish kerakki, unga asosan, mayatnikning yon taraflarga qanchalik masofagacha borib-kelishidan qat'iy nazar, uning tebranish davri o‘zgarmasligi lozim. Ushbu masalani esa 1673-yilda golland olimi Xristian Gyuygens (1629-1695) hal qilgan. U o‘z yechimidan keyinchalik ajoyib mayatnikli soatlar tayyorlashda foydalangan. Ushbu masalaning yechimi ham sikloida bo‘lib chiqqan edi.
Yupiterning Yevropa yo’ldoshi sirtida sikloida ko’rinishidagi geologik strukturalar shakllangan. Ushbu sikloidalar Yevropaning Yupiter atrofida aylanishida, gigant sayyoraning kuchli tortishish kuchi tufayli yuzaga kelgan.
Sikloida. Sikloida tenglamasining Dekart koordinatalar sistemasidagi ko’rinishi

Parametrik shakldagi tenglamasining ko’rinishi

24-rasm
Troxoida. Troxoida parametrik tenglamasi:
, troxoida bo’lganda grafigi rasmda
bo’lganda esa rasmda tasvirlangan.
25-rasm.
26-rasm.