Mavzu: Matritsaning ranggi haqidagi teorema va uning tatbiqlari

1.2 Aniqlovchi tushunchasi
Raqamlar jadvali bo'lgan matritsadan farqli o'laroq, aniqlovchi ma'lum bir tarzda matritsaga tayinlangan sondir. A n, n>1 tartibli kvadrat matritsa bo'lsin . n tartibli A kvadrat matritsaning determinanti yoki determinanti sondir
a ₁₁ a ₁₂ a _1n
a ₂₁ a ₂₂ a _2n  = _j (-1) ^j+1 M ₁ ^j = ∆ _n
a _n 1 a _n 2 a _nn
bu yerda M ₁ ^j elementning minori a _1j deb ataladigan birinchi qator va j -ustunni o‘chirish orqali A matritsasidan olingan n -1 tartibli kvadrat matritsaning determinanti .
Formula
_j (-1) ^j +1 M ₁ ^j 
determinantni birinchi qatorda kengaytirish orqali hisoblash formulasi deyiladi. (-1) ^j+1 M ₁
^j soni _{a 1j} elementning algebraik to'ldiruvchisi deyiladi . Kvadrat matritsa A ning determinantini i-qatorda kengaytirish va j-ustunda kengaytirish orqali hisoblash uchun formulalar amal qiladi:
a ₁₁ a ₁₂ a _1n
a ₂₁ a ₂₂ a _2n = _ik (-1) ^i+k M _i ^k = _kj (-1) ^k+j M _k ^j
a _n1 a _n2 a _nn
i=1,2,...,n, j=1,2,...,n uchun .
Ikkinchi tartibli kvadrat matritsa uchun determinantni hisoblash formulasi soddalashtirilgan:
= = a ₁₁ a ₂₂ - a ₁₂ a ₂₁
chunki, masalan, 1-qatordagi determinantning kengayish formulasida 
M ₁ ¹ =a ₂₂ , M ₁ ² =a ₂₁ . Uchinchi tartibli kvadrat matritsa uchun determinantni 1-qatorda kengaytirish orqali hisoblash formulasi:
- a ₁₂ + a ₁₃
Uchinchi tartibli determinantni quyidagi qoida bo‘yicha ham hisoblash mumkin: turli qator va turli ustunlardagi elementlarning oltita uch karra ko‘paytmasining algebraik yig‘indisini toping; ortiqcha belgisi bilan omillari asosiy diagonalda va asoslari asosiy diagonalga parallel bo'lgan uchburchaklarning tepalarida bo'lgan mahsulotlar olinadi; minus belgisi bilan - omillari asosiy bo'lmagan diagonalda va asoslari shu diagonalga parallel bo'lgan uchburchaklarning uchlarida joylashgan mahsulotlar.
+ -
a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃  a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃


a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃  a ₂₁ a ₁₂ a ₁₃


a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃ a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃
Misol . To'rtinchi tartibli determinantni 1-qatorda kengaytirish orqali hisoblashni ko'rib chiqing.
(-1) ¹⁺¹ +(-1) ¹⁺² +
+(-1) ¹⁺³ +(-1) ¹⁺⁴ =178
Misol. Ikkinchi tartibli determinantlarni hisoblang.
1. = 5×(-2) – 7×1 = -10 -7 = -17
2. \u003d 1 × 0 - (-4) × 9 \u003d 0 + 36 \u003d 36
Xuddi shunday, biz uchinchi tartibli matritsani va tegishli determinantni ko'rib chiqishimiz mumkin.
Misol. Uchinchi tartibli determinantni hisoblang.
1. = 1 - 3 -4 = -2 + 27 + 20 = 45

2. 
   .
   
3. 
   .
   

1.3 Determinantlarning asosiy xossalari
Determinantning ta'rifi determinantlarning asosiy xususiyatlarini nazarda tutadi.
1. Agar aniqlovchining qaysidir qatori yoki ustuni nollardan iborat bo'lsa, determinant nolga teng bo'ladi.
Masalan,
= 1*0*5 +0*9*7 +4*0*2 -7*0*2 -4*0*5 -0*9*1 = 0
2. 2 satr yoki ustunni almashtirishda determinant mutlaq qiymatni saqlab, ishorani teskari tomonga o‘zgartiradi.
Ikkinchi tartibli determinant uchun isbotni bajaramiz.
.
3. Ikkita bir xil satr (ikkita bir xil ustun)dan iborat aniqlovchi nolga teng.

Haqiqatan ham, agar biz bu erda 2 va 3-qatorlarni qayta joylashtirsak, u holda 2-xususiyat bo'yicha bu determinant belgini o'zgartirishi kerak, ammo bu holda determinantning o'zi o'zgarmaydi, ya'ni. olish | A | = -| A | yoki | A | = 0. 4. Har qanday qatorning (ustunning) umumiy omilini aniqlovchi belgisidan chiqarish mumkin.
.
5. Agar D _n aniqlovchining ma’lum bir qatori (ustunlari)ning har bir elementi ikkita hadning yig’indisi sifatida ifodalansa, bu aniqlovchi ikkita aniqlovchining yig’indisiga teng bo’lib, ularning har birida: a) barcha satrlar (ustunlar) , ko'rsatilgan qator (ustun) bundan mustasno, determinantning o'xshash qatorlari (ustunlari) bilan mos keladi D _n ; b) ko'rsatilgan qator (ustun) o'rniga birinchi aniqlovchi birinchi hadlarni, ikkinchi aniqlovchida esa D n aniqlovchining berilgan qatori (ustun) ikkinchi hadlarini o'z ichiga _oladi .
Uchinchi tartibli determinant misolida bu xususiyatni tushuntirib beraylik:

6. Har qanday qator (ustun) elementlariga boshqa qatorning (ustunning) mos keladigan elementlari istalgan songa ko‘paytirilsa, aniqlovchi o‘zgarmaydi.

Determinantning oldingi xossalaridan foydalanib, bu tenglikni isbotlaylik.
= + =
+ k =
7. Agar aniqlovchining ikkita ustuni yoki ikkita satrining mos keladigan elementlari proportsional bo'lsa, aniqlovchi nolga teng bo'ladi.
Determinantlarning bu xossalari ko'pincha determinantlarni hisoblashda va turli masalalarda qo'llaniladi.
8. Aniqlovchi

har qanday ustun (yoki satr) elementlari va ularning algebraik to'ldiruvchilari ko'paytmalari yig'indisiga teng. Boshqacha qilib aytganda, quyidagi tengliklar mavjud:
..  _
..  _
,  .
Misol. Determinantni xossalaridan foydalanib hisoblang
.
Determinantni har qanday satr elementlariga parchalashdan, uni uchinchi tartibli determinantlarga tushirishdan oldin uni istalgan satr yoki ustundagi barcha elementlarni, bittadan tashqari barcha elementlarni nolga tenglashtirish orqali aylantiramiz. Bunday holda, 4-ustun yoki 4-qatorni ko'rib chiqish qulay:
= = -1 (-1) ⁷ =  
+ = 8 - 4 - 4 = 0
1.4 Teskari matritsa
Teskari matritsa tushunchasi faqat kvadrat matritsalar uchun kiritilgan. Agar A kvadrat matritsa bo'lsa, uning teskari matritsasi A ^-1 bilan belgilangan va shartni qondiruvchi matritsadir  . (Ushbu ta'rif raqamlarni ko'paytirishga o'xshash tarzda kiritilgan)
Quyidagi teorema haqiqatdir: