Mavzu: Matritsaning ranggi haqidagi teorema va uning tatbiqlari

Teorema. A kvadrat matritsa teskari bo'lishi uchun uning determinanti nolga teng bo'lmasligi zarur va etarli.
Isbot :
Zaruriyat . A matritsa teskari A -1 matritsaga ega bo'lsin ^. Keling, buni ko'rsatamiz | A | ≠ 0.
Faraz qilaylik | A | = 0. Keyin = Lekin boshqa tomondan = . Olingan qarama-qarshilik | A | ≠ 0.
Etarlilik . Oddiylik uchun biz uchinchi tartibli matritsaning ishi uchun isbotlashni amalga oshiramiz.
Mayli
va | A | ≠ 0.
Keling, bu holda teskari matritsa matritsa ekanligini ko'rsatamiz
, bu yerda A _ij elementning algebraik to'ldiruvchisi a _ij .
AB=C ni topamiz .
E'tibor bering, C matritsasining barcha diagonal elementlari 1 ga teng bo'ladi. Darhaqiqat, masalan,

Xuddi shunday, determinantning qator elementlari bo‘yicha kengayishi haqidagi teorema orqali c ₂₂ = c ₃₃ = 1 ekanligini isbotlashimiz mumkin.
Bundan tashqari, C matritsasining diagonaldan tashqari barcha elementlari nolga teng. Masalan,
Shuning uchun AB=E . Xuddi shunday, BA=E ekanligini ko'rsatish mumkin . Shuning uchun B = A ^-1 .
Shunday qilib, teorema teskari matritsani topish usulini o'z ichiga oladi.
Agar teorema shartlari bajarilsa, matritsaga teskari matritsa  quyidagicha topiladi.
,
bu yerda A _ij - berilgan A matritsaning a _ij elementlarining algebraik to'ldiruvchisi .
Shunday qilib, teskari matritsani topish uchun sizga kerak bo'ladi:

1. 
   A matritsaning determinantini toping .
   
2. 
   A matritsaning barcha elementlarining A _ij algebraik qo‘shimchalarini toping va elementlari A _ij sonlar bo‘lgan matritsa tuzing .
   
3. 
   Olingan matritsaga ko'chirilgan matritsani toping va uni ko'paytiring - bu bo'ladi .
   

Xuddi shunday, ikkinchi tartibli matritsalar uchun teskari quyidagi matritsa bo'ladi .
Misollar.

1. 
   Berilgan A = ga teskari matritsani toping . Chek qiling.
   

| A | = 2. A matritsa elementlarining algebraik to'ldiruvchilarini toping .

Imtihon:
.
Xuddi shunday A∙A ^-1 = E.

2. 
   Berilganga teskari A ^-1 elementlar va matritsalarni toping
   

.
| hisoblab chiqamiz A | = 4. Keyin
.
.

3. 
   Matritsa berilgan
   

.
Teskari matritsani topamiz.

1.5 Matritsa darajasi
To'rtburchaklar matritsani ko'rib chiqing.

Agar bu matritsada ixtiyoriy ravishda k satr va k ustunni tanlasak , u holda tanlangan satr va ustunlar kesishmasidagi elementlar k-tartibli kvadrat matritsa hosil qiladi. Ushbu matritsaning determinanti A matritsaning k-tartibli minori deb ataladi. Shubhasiz, A matritsada m va n sonlarning 1 dan eng kichigigacha boʻlgan har qanday tartibdagi minorlar mavjud. A matritsaning nolga teng bo'lmagan barcha minorlari orasida kamida bitta kichik kichiklar bor, ularning tartibi eng katta. Berilgan matritsaning kichiklarining nolga teng bo'lmagan tartiblarining eng kattasi matritsaning darajasi deb ataladi. Agar A matritsaning darajasi r ga teng bo'lsa , bu A matritsada r ning nolga teng bo'lmagan minori , lekin undan katta tartibli har qanday minor mavjudligini bildiradi.r nolga teng. A matritsaning darajasi r(A) bilan belgilanadi. Munosabatlar mavjudligi aniq
0 £ r(A) £ min (m, n.
Matritsaning darajasi voyaga etmaganlarning chegaralanishi yoki elementar transformatsiyalar usuli bilan topiladi. Matritsaning darajasini birinchi usulda hisoblashda quyi tartibdagi voyaga etmaganlardan yuqori darajadagi voyaga etmaganlarga o'tish kerak. Agar A matritsaning k-darajali nolga teng bo'lmagan D minori allaqachon topilgan bo'lsa, u holda faqat kichik D bilan chegaradosh (k + 1)-chi darajali minorlarni hisoblash kerak, ya'ni. uni voyaga etmagan sifatida o'z ichiga oladi. Agar ularning barchasi nolga teng bo'lsa, u holda matritsaning darajasi k bo'ladi . Ikki matritsa ekvivalent deyiladi , agar ulardan biri ikkinchisidan cheklangan elementar o'zgartirishlar to'plami yordamida olingan bo'lsa.
Ekvivalent matritsalar, umuman olganda, teng emas, lekin ularning darajalari tengdir. Agar A va B matritsalari ekvivalent bo'lsa, bu quyidagicha yoziladi: A ~ B.
Kanonik matritsa - bu asosiy diagonalning boshida
ketma-ket bir nechta (ularning soni
nolga teng bo'lishi mumkin) va boshqa barcha elementlar nolga teng bo'lgan matritsadir,
masalan,  .
Satrlar va ustunlarni elementar o'zgartirishlar yordamida har qanday matritsani kanonik matritsaga qisqartirish mumkin. Kanonik matritsaning darajasi uning asosiy diagonalidagilar soniga teng.
Misol. Voyaga etmaganlarni chegaralash usuli bilan matritsaning darajasini toping
.
Yechim. Biz 1-darajali voyaga etmaganlar bilan boshlaymiz, ya'ni. matritsaning elementlaridan A. Masalan, birinchi qator va birinchi ustunda joylashgan minor (element) M _{1 = 1 ni tanlaymiz.} Ikkinchi qator va uchinchi ustun yordamida chegaralanib, biz noldan farq qiladigan minor M ₂ = ni olamiz. _{Endi biz M 2}  bilan chegaradosh 3-tartibdagi voyaga etmaganlarga murojaat qilamiz . Ulardan faqat ikkitasi bor (siz ikkinchi ustunni yoki to'rtinchi ustunni qo'shishingiz mumkin). Biz ularni hisoblaymiz:
= 0. Shunday qilib, uchinchi tartibdagi barcha chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng bo'lib chiqdi. A matritsaning darajasi ikkitadir.
Misol. A= matritsaning darajasini toping  va uni kanonik shaklga keltiring.
Yechim. Ikkinchi qatordan birinchisini ayirib , ushbu qatorlarni qayta tartiblang : uchinchi qatordan birinchisini ayirish; A matritsaga ekvivalent bo'lgan B = matritsasini olamiz , chunki u undan elementar o'zgarishlarning cheklangan to'plami yordamida olingan. Shubhasiz, B matritsaning darajasi 2 ga teng va shuning uchun r(A)=2. B matritsasini kanonik matritsaga osongina qisqartirish mumkin. Tegishli sonlar bilan ko'paytiriladigan birinchi ustunni barcha keyingilardan ayirib, birinchi qatordan tashqari birinchi qatorning barcha elementlarini nolga aylantiramiz va qolgan qatorlarning elementlari o'zgarmaydi. Keyin, tegishli raqamlarga ko'paytiriladigan ikkinchi ustunni barcha keyingilardan ayirib, ikkinchi qatordan tashqari ikkinchi qatorning barcha elementlarini nolga aylantiramiz va kanonik matritsani olamiz: .