Mavzu: Matritsaning ranggi haqidagi teorema va uning tatbiqlari

II.Matritsalar ustida amallar
2.1 Matritsani o'zgartirish
Quyidagi o'zgartirishlar matritsaning elementar o'zgarishlari deyiladi :
1) matritsaning qatorini (ustunini) noldan boshqa raqamga ko'paytirish;
Masalan: 3-ustunni 3 ga ko'paytiring:

2) matritsaning bir qatoriga boshqa qator qo‘shish;

Masalan: matritsaning 2-qatoriga −3 ga koʻpaytirilgan 1-qatorni qoʻshing:

3) satrlarni (ustunlarni) almashtirish;

Masalan: matritsaning 1 va 3 qatorlarini almashtiramiz:

Keling, matritsaning 2 va 3 ustunlarini qayta joylashtiramiz:

4) bir xil satrlardan (ustunlardan) birini o'chirish (o'chirish);

5) matritsaning transpozitsiyasi ;
Matritsaning transpozitsiyasi - bu matritsa satrlarini uning ustunlari bilan ularning tartibini saqlab qolgan holda almashtirish (yoki teng ravishda matritsa ustunlarini uning satrlari bilan almashtirish). Boshlang‘ich A matritsasi berilgan bo‘lsin :

Keyin, ta'rifga ko'ra, ko'chirilgan A ^T matritsasi shaklga ega
A ^T =  ,
Matritsani transpozitsiya qilish operatsiyasining qisqartirilgan shakli:
A = ( a _{i j} ), A ^T = ( a _{j I} ); i= 1,2,…,m, j= 1,2,…,n.
Misol. A va B matritsalar berilsin :
B =
Keyin mos keladigan ko'chirilgan matritsalar shaklga ega bo'ladi
A ^T = , B ^T = .
Matritsani transpozitsiya qilish operatsiyasining ikkita qonuniyatiga e'tibor qarataylik.
1. Ikki marta transpozitsiya qilingan matritsa asl matritsaga teng:
A ^TT = A
2. Kvadrat matritsalarni ko'chirishda asosiy diagonalda joylashgan elementlar o'z o'rnini o'zgartirmaydi, ya'ni. Kvadrat matritsaning bosh diagonali ko‘chirilganda o‘zgarmaydi.
Algebra va uning qo'llanilishida muhim rolni simmetrik matritsalar - kvadrat matritsalar o'ynaydi, ularda asosiy diagonalga nisbatan simmetrik bo'lgan elementlar tengdir, ya'ni. a _ij = a _ji . Bunday matritsalarning transpozitsiyasi ularning shaklini o'zgartirmaydi, shuning uchun tenglik
A = A ^T
simmetrik matritsaning ta'rifi deb ham taxmin qilish mumkin.
2.2 Matritsalarni qo'shish
Bir xil o'lchamdagi A va B matritsalarining yig'indisi bir xil o'lchamdagi C matritsa bo'lib, uning har bir elementi A va B matritsalarining mos keladigan elementlari yig'indisiga teng. Keling, buni qisqacha ifodalaymiz. Mayli
A= (a _i j ), B=( b _i j ); i = 1,2,…, m , j = 1,2,…, n .
Keyin bu matritsalarning yig'indisi C = A + B ko'rinishga ega
S = (c _{i j} ), c _{​​i j} = a _{i j} + b _{i j} ; i= 1,2,…,m, j= 1,2,…,n.
Masalan,

Misollar. Matritsalar yig‘indisini toping:
1. + = =
2. + - mumkin emas, chunki matritsa o'lchamlari har xil.
3. +
Misol. A va B matritsalar berilsin:

Keyin ularning yig'indisi, ta'rifga ko'ra, matritsadir

2.3 Matritsani haqiqiy songa ko‘paytirish.
A matritsaning a haqiqiy soniga ko'paytmasi matritsa bo'lib, uning har bir elementi A matritsaning tegishli elementini a soniga ko'paytirish yo'li bilan olinadi .
Misol. A matritsa va a soni berilsin :

Keyin A matritsa va sonning ko'paytmasi matritsa bo'ladi

Matritsalarni yig'ish va matritsani songa ko'paytirish amallarining xossalarini ko'rib chiqamiz, ular bevosita ushbu amallarning ta'rifidan kelib chiqadi. A , B va C bir xil o‘lchamdagi matritsalar, a va b esa bir qancha haqiqiy sonlar bo‘lsin . Keyin:
1) A + B = B + A,
2) ( A + B) + C = A + (B + C),
3) a (A + B) = a A + a B,
4) ( a + b ) A = aA + bA ,
5) ( ab ) A = ( a A ) b ,
6) A + O = A , bu erda O - nol matritsa,
7) 0 A \u003d O.
2.4 Matritsalarni ko'paytirish
Matritsalarni ko'paytirish - matritsalar algebrasining asosini tashkil etadigan o'ziga xos operatsiya.
_{Ikkita A \u003d (a i j} ) va B \u003d (b _{j k} ) matritsalarining mahsuloti , bu erda ma'lum bir AB tartibida berilgan i \u003d  , j \u003d  , k \u003d,  C \u003d (c) matritsasi deb ataladi. _ik ), uning elementlari quyidagi qoida bo'yicha aniqlanadi:
c _ik = a _{i 1} b _{1 k} + a _{i 2} b _{2 k} +... + a _{i m} b _{m k} =  a _{i s} b _{s k} .
Boshqacha qilib aytganda, mahsulot matritsasining elementlari quyidagicha aniqlanadi: C matritsaning i-qatori va k-ustun elementi ning i-qatori elementlari koʻpaytmalari yigʻindisiga teng. A matritsasini B matritsasining k-ustunining mos keladigan elementlari bilan.
Matritsalarning satrlari va ustunlarini satr vektorlari va tegishli o'lchamdagi ustun vektorlari sifatida ko'rish mumkin: boshqacha aytganda, har qanday matritsa qator vektorlari yoki ustun vektorlari to'plami sifatida talqin qilinishi mumkin.