Mavzu: Matritsaning ranggi haqidagi teorema va uning tatbiqlari

A va B matritsalarning ko‘paytmasi C matritsa bo‘lib , uning c _ij elementlari A matritsaning _i qator vektorlari va B matritsaning _j ustun vektorlarining skalyar ko‘paytmalariga teng  :
C \u003d AB \u003d ║c _ij ║, _ij \u003d _i j \u003d bilan _b sj ,
i = 1,2,…, m , j = 1,2 ,…, k .
A va B matritsalarining mahsuloti - C matritsasi m x k ​​o'lchamga ega , chunki satr vektorlari va ustun vektorlarining uzunligi n , ularning skalyar ko'paytmalarida ushbu vektorlarning koordinatalarining ko'paytmalarini yig'ishda yo'qoladi. Shunday qilib, C matritsasining birinchi qatori elementlarini hisoblash uchun A matritsasining birinchi qatori va B matritsasining barcha ustunlarining skalyar mahsulotlarini ketma-ket olish kerak; C matritsasining ikkinchi qatori ikkinchi vektorning skalyar mahsuloti sifatida olinadi - A matritsasining satrlari B matritsasining barcha ustun vektorlari bo'yichava hokazo. Matritsalar mahsulotining o'lchamini eslab qolish qulayligi uchun siz matritsa omillari o'lchamlari nisbatlarini ko'paytirishingiz kerak:  , ya'ni. C matritsasining o'lchami raqamlarga nisbatan qolganlarning ko'paytmasiga teng: m x k.
Matritsalarni ko'paytirish amalida xarakterli xususiyat mavjud: A va B matritsalarining ko'paytmasi, agar A dagi ustunlar soni B dagi qatorlar soniga teng bo'lsa, mantiqiy bo'ladi. U holda agar A va B to'rtburchaklar matritsalar bo'lsa, u holda mahsulot B va A ning endi ma'nosi yo'q, chunki mos keladigan matritsaning elementlarini tashkil etuvchi skalyar mahsulotlarda bir xil miqdordagi koordinatali vektorlar ishtirok etishi kerak.
Agar A va B matritsalari n x n kvadrat bo'lsa, u holda AB matritsalarining ko'paytmasi ham, BA matritsalarining ko'paytmasi ham ma'noga ega bo'ladi va bu matritsalarning o'lchami dastlabki omillarniki bilan bir xil bo'ladi. Bunday holda, matritsani ko'paytirishning umumiy holatida almashtirish qoidasi kuzatilmaydi, ya'ni.
AB ≠ BA.
Matritsalarni ko'paytirish misollarini ko'rib chiqing.
Misol. Matritsalar hosilasi toping
A = , B = .
Yechim . _ A matritsa ustunlari soni B matritsa satrlari soniga teng bo'lganligi sababli, AB matritsalarining ko'paytmasi mantiqiy bo'ladi. Formulalarga ko'ra, mahsulotda 3 x 2 matritsani olamiz:

BA mahsuloti mantiqiy emas, chunki B matritsasining ustunlari soni A matritsasining qatorlari soniga mos kelmaydi .
Misol. A = , B =
Yechim . _ Bu erda biz AB va BA matritsalarining mahsulotini topamiz :

Natijadan ko'rinib turibdiki, mahsulot matritsasi mahsulotdagi matritsalarning tartibiga bog'liq. Ikkala holatda ham matritsa mahsulotlari dastlabki omillar bilan bir xil o'lchamga ega: 2 x 2.
Misol. A = , B = = .
Yechim . _ Bunday holda, B matritsasi ustun vektori, ya'ni. uchta qator va bitta ustunli matritsa. Umuman vektorlar matritsalarning maxsus holatlari: n uzunlikdagi satr vektori bitta satr va n ta ustunli matritsa , n balandlikdagi ustun vektori esa n ta satr va bitta ustunli matritsadir . Ushbu matritsalarning o'lchamlari mos ravishda 2 x 3 va 3 x 1 ga teng, shuning uchun bu matritsalarning ko'paytmasi aniqlanadi. Bizda ... bor

Mahsulot 2 x 1 matritsa yoki 2 balandlikdagi ustun vektorini beradi.
Misol. A = matritsasi berilgan . ^{A 3} matritsasini toping .
Yechim . _ Matritsani ketma-ket ko'paytirish orqali biz topamiz

Matritsalar mahsulotining xossalarini ko'rib chiqing. A , B va C mos o‘lchamdagi matritsalar (matritsa ko‘paytmalari aniqlanishi uchun), a haqiqiy son bo‘lsin . U holda matritsalar mahsulotining quyidagi xossalari amal qiladi:
1) (AB) C \u003d A (BC),
2) ( A + B)C = AC + BC,
3) A (B + C) \u003d AB + AC,
4) a(AB) = (aA)B = A ( aB ).
Matritsa algebrasida E identifikatsiya matritsasi birlik rolini o'ynaydi, ya'ni. kvadrat matritsalar holatida ushbu matritsaga chap va o'ngga ko'paytirish bilan bog'liq yana ikkita xususiyatni qayd etishimiz mumkin:
5) AE \u003d A,
6) EA = A.
Boshqacha qilib aytganda, identifikatsiya matritsasi bo'yicha har qanday matritsaning mahsuloti, agar u mantiqiy bo'lsa, dastlabki matritsani o'zgartirmaydi.
Misol. A= va B= matritsalarining mahsulotini toping .
Yechim. Bizda: 2 ´ 3 o'lchamdagi A matritsasi , 3 ´ 3 o'lchamli B matritsasi , keyin AB = C mahsuloti mavjud va C matritsasining elementlari c ₁₁ = 1 × 1 + 2 × 2 + 1 × 3 = ga teng. 8, c ₂₁ = 3 × 1 + 1 × 2 + 0 × 3 = 5, ₁₂ = 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 5 = 7 bilan,

s ₂₂ = 3 x 2 + 1 x 0 + 0 x 5 = 6, s ₁₃ = 1 x 3 + 2 x 1 + 1 x 4 = 9, s ₂₃ = 3 x 3 + 1 x 1 + 0 x 4 = 10 .

AB =  va BA mahsuloti mavjud emas.