Методические указания к практическим занятиям по физике часть III колебания, волны, оптика

Примеры решения задач 
Задача 1. 
Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел
ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля для
двух случаев: 1)
= 51 В; 2)
= 510 кВ.
Решение. 
Длина волны де Бройля частицы зависит от ее импульса p и
определяется формулой
= (1)
где h – постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая
энергия W
к
. Связь импульса с кинетической энергией различна для
нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много
меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая
энергия сравнима с энергией покоя частицы).
В нерелятивистском случае
=
2
к
(2),

---

Страница 113

где m
0
- масса покоя частицы.
В релятивистском случае
=
С
(2
+
к
)
к
(3),
где
=
– энергия покоя частицы.
Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется в
нерелятивистском случае:
=
к
(4)
В релятивистском случае
=
С
(
к
)
к
(5)
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в
условии задачи разности потенциалов
= 51 В и
= 510 кВ, с энергией
покоя электрона и в зависимости от этого решим вопрос, которую из формул
(4) и (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую
разность потенциалов U,
= е
В первом случае
= е
= 51эВ = 0,51 ∙ 10
МэВ, что много энергии
покоя электрона
=
= 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно
применить формулу (4).
Для упрощения расчетов заметим, что
= 10
. Подставив это
выражение в формулу (4), перепишем ее в виде:
=
ℎ
2
10
=
10 ℎ
√2
Учтя, что
есть комптоновская длина волны
Λ, получим =
√
Λ
Так как
Λ = 0,00243 нм, то
=
10
√2
∙ 0,00243 нм = 0,171 нм
Во втором случае кинетическая энергия
= е
= 510 кэВ =
0,51 МэВ
т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить
релятивистскую формулу (5).
Учтя, что
= 0,51 МэВ =
, по формуле (5) найдем
=
(
)
=
√
, или
=
√
Подставляем
Λ и произведем вычисления
=
,
√
нм = 0,0014 нм.