«Методика обучения решению показательным уравнениям и неравенствам в школьном курсе математики»

Задача 10.40. а) Решите уравнение 
(
)
. 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
[
]. 
Решение: а) 1. По формулам приведения 
(
) . 
2. Тогда данное уравнение примет вид: 
3. Вводим замену 
. Получаем:
; 
; 

---

88 
. Решаем обычное квадратное уравнение с помощью 
формул дискриминанта и корней: 
, √ , 
√ 
,
√ 
. Оба корня положительны. 
3. Возвращаемся к переменной 
:
. Тогда 
и
.
. Тогда 
; 
;
Получили четыре семейства корней. Их бесконечно много. 
б) 4. С помощью неравенств находим те корни, которые принадлежащие 
отрезку
[
] : Для корней
;
Получаем одно значение 
. Для корней 
ни одного значения корней нет. Для корней 
;
есть одно значение 
; Для корней 
есть одно значение 
. 
Ответ: а) 
;
; б) 
,
.
Задача 10.41. а) Решите уравнение 
( 
√ ) . 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
[ 
]. 
Решение: а) Запишем исходное уравнение в виде: 
√
Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, приравнено к 
положительному числу, поэтому исследовать ОДЗ не требуется. 
Для решения полученного тригонометрического уравнения используем 
формулу синуса двойного угла 
откуда получаем 
( √ ) откуда или
√ 
Из уравнения 
√ 
находим: 
или
. Из уравнения находим:
. 

---

89 
б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку 
[ 
] Получим числа:
Ответ: а) 
{ 
} )