Mexanika, molekulyar fizika va termodinamika

4.2. Jismning aylanma harakati dinamikasi
Tinch turgan maxovikga ta’sir chizig‘i uning aylanish o‘qi orqali o‘tadigan kuch qo‘yamiz, bunday holda maxovik tinch holatda qoladi. Endi biz kuchni mazkur yo‘nalishga nisbatan burchak ostida yo‘naltiramiz (maxovik tekisligida), bunday holda u aylanadi. Farq nimada ekanligini tushunish uchun chizma tekisligida joylashgan O aylanish markaziga qattiq bog‘langan 1-zarrachani ko‘rib chiqamiz. Bu zarrachaga chizma tekisligida F kuch ta’sir qiladi (4.1-rasmga qarang).
Kuchning zarracha radius-vektori r bo‘ylab yo‘nalgan F_r tashkil etuvchisi uning markaz bilan bog‘lanishining faqat f elastik reaktsiyasini keltirib chiqaradi, zarrachaning dl₁ ko‘chishi kuchning tashkil etuvchisi ta’sirida sodir bo‘ladi.
Qo‘yilgan kuch quyidagi ishni bajaradi
= Fdl = F(cos , (4.9)
bu erda tenglik hisobga olingan. (4.9) formulani (3.2) formulasi bilan taqqoslaylik. Agar siljish analogi bo‘lsa, u holda kuch moduli analogi vazifasini bajaradi(aniqrog‘i kuchning siljish bo‘yicha proektsiyasi). U aylanish markaziga nisbatan kuch momentining moduli deb ataladi (kuch momenti tushunchasi Arximed tomonidan kiritilgan):
(4.10)
bu erda (4.1-rasmga qarang) - aylanish markazidan kuch ta’sir chizig‘igacha bo‘lgan eng qisqa masofa. Bunga kuch yelkasi deyiladi. (4.10) formula r va F vektorlarning vektor ko‘paytmasining modulini ifodalaydi.
(4.11)
bu vektor M vektor yo‘nalishini belgilaydi. Agar zarrachaga bir necha kuch momentlari ta’sir etsa, bunda ularning qo‘shilib ketishi namoyon bo‘ladi.
(4.12)
Natijaviy moment har bir kuchlar momentlarining vektor yig'indisiga teng.


Amaliyotdan misollar____________________________________________
1.Jilvir g'ildiragini aylantiruvchi kuch momenti va keskichni charxlash natijasida paydo bo‘lgan tormozlovchi kuch momenti qarama-qarshi yo‘nalgan.
2. Avtomobil g‘ildiragi va valikga bosilgan tamg‘alarning g‘ildirak yer sirtiga tegishidagi reaktsiyasi g‘ildirakning aylanishiga to‘sqinlik qiladigan moment hosil qiladi (2.3-rasmga qarang).

4.3, b-rasmda z o‘q atrofida aylanayotgan jism ko‘rsatilgan. Uning 4.1-rasmdan farqli tomoni shundaki, F kuchi bu erda 1 zarrachaning aylanish tekisligida yotmaydi va shuning uchun aylanish o‘qiga parallel ravishda qo‘shimcha F_z tashkil etuvchisini hosil qiladi. Bu tashkil etuvchi burchakli tezlanishga ta‘sir qilmaydi, ammo aylanish o‘qini eguvchi kuch momentini hosil qiladi. Masalan, avtomobil g‘ildiragi uchun bu turli g‘adir-budurliklarda yoki yarimo‘qning qiyshayishida yuzaga keladi. F_r komponenti, 3.1-rasmdan ham ko‘rinadiki aylanishga ta‘sir qilmaydi, chunki uning elkasi nolga teng - u faqat aylanish o‘qida yuklama hosil qiladi. Avtomobil g‘ildiragi o‘qiga ta’sir qiladi, bu kuch avtomobil og‘irligining tarkibiy qismidir. Shunday qilib, burchak tezlanish faqat aylanish o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan va aylanish momenti M ni hosil qiluvchi komponentasi bilan aniqlanadi, bu aylanish o‘qiga nisbatan kuch momenti deyiladi. Uning yo‘nalishi (4.11) formula bo‘yicha aniqlanadi. Avtomobil g’ildiragiga bunday moment uni o‘qga mahkamlaydigan tirgaklar va murvatlar tomonida ta’sir qiladi.

Kuch momenti zarrachaga kinetik energiya berish ishini bajaradi . (3.6) formuladan foydalanib, uni shakliga o‘tkazamiz va unu ilgarilanma harakat uchun E_k formulasi bilan taqqoslaymiz. chiziqli tezlikning analogi bo‘lgani uchun massaning analogi sifatida bu erda ni olamiz, bu zarrachaning aylanish markaziga nisbatan inertsiya momenti deb nom oldi:
(4.13)
(4.13) formuladan, inertsiya momenti bilan o‘lchanishi kelib chiqadi.
Shunday qilib, zarrachaning kinetik energiyasi
(4.14)
Bunday energiyani olish uchun ifodasi (4.9), (4.10) va (4.14)formulalardan kelib chiqadigan quyidagi ishni bajarish lozim:
= M d (4.15)
Ushbu ifodalarni birlashtirib, zarrachani cheklangan burchak ostida burash bo‘yicha ishni topish oson. (4.1) ifodani (4.15) formulaga qo‘yib, ni, ya’ni ni olamiz. (4.8) va (4.11) formulalarni taqqoslash M va bir tomonga yo‘nalgan vektorlar ekanligini anglatadi. Shuning uchun, vektor shaklida
(4.16)
Ushbu ifoda shakl va ma‘no jihatidan (2.3) ifodaga o‘xshashdir, ammo zarradan jismga o‘tishda formulalar o‘rtasida farqlar paydo bo‘ladi. Ilgarilanma harakati davomida jismning barcha zarralari bir xilda harakatlanadi. Shuning uchun uning massasi (2.3) tenglamaga zarrachalar massalarining yig‘indisi sifatida kiradi. Aylanma harakatda massalar emas, balki J inertsiya momentlar qo‘shilishi kerak (4.13), ammo ular zarrachalarning radius-vektorlari r ning aylanish markazlariga nisbatan turli xil joylashganligi tufayli. Ikkinchi farq shundaki, ilgarilanma harakati davomida (2.3) tenglama o‘z ichiga kuchlarning vektor yig‘indisini oladi va aylanish bilan - ularning momentlari yig‘indisi Mni oladi, bu nafaqat modul va yo‘nalishlarga, balki kuchlarning qo‘yilish nuqtalariga ham bog‘liqdir. Aylanayotgan jism uchun dinamika qonunlarini olish uchun, biz uni aylanishda bajarilgan ish natijasida kinetik olganligidan foydalanamiz. Jismning harakatlanuvchi ixtiyoriy zarralari 1 va 3 ning elementar ishi (4.1-rasmga qarang) quyidagiga teng
(4.17)
bu yerda F₁ , F₃ — zarrachalarga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar; f₁₃, f₃₁ — ular orasidagi bog‘lanish kuchlari; dl₁ , dl₃ — zarrachalarning elementar ko‘chishlari.
(4.9), (4.10) formulalarga asosan (4.17) ifodani quyidagi ko‘rinishga keltiramiz
(4.18)
bu erda burchagi barcha zarralar uchun bir xil ekanligi hisobga olingan. f₁₃ va f₃₁ bog‘lanish kuchlarining aylanish markaziga nisbatan yelkalari kattaligi teng va qarama-qarshi yo‘nalishda bir to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yo‘nalgan. Shunday qilib, (3.18) tenglikning o‘ng tomonidagi ikkinchi hadi har qanday juft zarra uchun nolga teng. U holda butun jism uchun
(4.19)
bu erda o‘ng tomonda tashqi kuchlar momentlari modullari yig'indisi ko‘rsatilgan.
Ularning ishi jismning kinetik energiyasini oshirishga sarflanadi, bu kinetik energiya jism zarralarining kinetik energiyalari yig‘indisiga teng. (4.13), (4.14) formulalar asosida aylanma harakat qilayotgan jismning kinetik energiyasi uchun quyidagini olamiz
, (4.20)
bu yerda
(4.21)
Ushbu summa jismning aylanish o‘qiga nisbatan inertsiya momenti deb ataladi.
(3.20) formuladan quyidagi kelib chiqadi


(4.22)
(4.19) va (4.22) formulalardan quyidagini olamiz
(4.23)
bu erda va vektor miqdorlar sifatida belgilanadi, chunki ko‘pincha ular bir tomonga yo‘naladi. (4.23) formula - bu aylanma harakat dinamikasining asosiy qonunidir: jismning burchakli tezlashishi tashqi kuchlarning aylanish o‘qiga nisbatan momentlari yig‘indisiga to‘g‘ri proportsional va jismning shu o‘qga nisbatan inertsiya momentiga teskari proportsionaldir.
Ushbu qonun Nyutonning ikkinchi va uchinchi qonunlari natijasida olingan. Jismlar uchun inetrsiya momenti harakat paytida o‘zgarmaydi. Shakli bo‘yicha bu Nyutonning ikkinchi qonunining analogidir.