Mualliflar: Abduraxmanov. P., fizika-matematika fanlari doktori, professor, Egamov U., fizika-matematika fanlari

390

_E=

2. 
   m 2 m ’
   

(127.4)


Bu ifoda erkin elektron energiyasining to’lqin vektoriga bog’liqligini belgilaydi va dispersiya nisbatining boshkacha kurinishi xisoblanadi.

4. 
   - ifodadan erkin elektronning dispersiya konuni bir o’lchamli xarakatlar uchun kvadratik xarakterga ega ekanligi kurinib turibdi (221 -rasm).
   

221 - rasm. Erkin elektronning dispersiyassonuni


SHredinger tenglamasining (127.1) echimi yassi chopadigan to’lqindan iborat:
W = A^ikx , (127.5)


bu erda A - to’lqin amplitudasi.
To’lqin funksiyasi modulining kvadrati fazoning ma’lum qismida elektronni bulish extimolligiga proporsionaldir. 222 - rasmdan kurinishicha, erkin elektron uchun bu extimollik elektronning koordinatasiga bog’liq emas, chunki
² l!
W =w* = a , (127.6)
x uzgarishi bilan uzgarmasdan koladi.Erkin elektron uchun fazoning barcha nuqtasi ekvivalentdir va uni fazoning istalgan nuqtasida topish extimolligi birxildir.


391

2 2 2 WW=A (cos kx+sin kx)

►
k

222. 
     - rasm. Erkin elektronning fazoda bulish extimolligi
     

Kristall panjara ionlarining tartibli joylashishidan xosil bulgan kristallning davriy maydonida xarakatlanayotgan elektron uchun dispersiya konuni boshkacha kurinishda bo’ladi (223 - rasm).

222. 
     - rasm. Kristall panjaraning davriy maydoni
     

Kristallning berilgan nuqtasida elektronni topish extimolligi x koordinataning davriy funksiyasidir, chunki kristall panjara doimiysi a - ga karrali (A, A' va V) xolatlarda elektronning bulish extimolligi birxildir. Fakat bitta davr chegarasidagi nuqtalarda elektronni topish extimolligi xar xildir. Bu davriy maydonda xarakat kilayotgan elektroning to’lqin funksiyasi /(x) amplitudasi doimiy uzgarmas kolmasligini bildiradi. Boshkacha kilib aytganda, to’lqin funksiyasining amplitudasi kristall panjara doimiysi a bilan modulyasiyalangan, deb xisoblanadi. Ushbu modulyasiyalangan amplitudani U(x) orkali belgilaymiz. U xolda, kristallning davriy maydonida x - uki yunalishida xarakatlanayotgan elektronning to’lqin funksiyasini kuyidagi kurinishda keltirish mumkin:


392

y/(x) = U (x)e'^fa

(127.7)


bu erda U(x+na) = U(x), n istalgan butun son. Bu funksiyaning anik kurinishi SHredinger tenglamasidagi potensial energiyaning U(x) kurinishi bilan aniklanadi. Elektronning dispersiya konunida xam tegishli uzgarishlar sodir bo’ladi: Birinchidan, shunday elektronlarning energetik spektri sohaviy xarakterga ega bo’ladi, E_a atom satxlaridan tashkil topgan, mumkin bulgan sohalar takiklangan energiyali sohalar bilan ajralgan bo’ladi. Ikkinchidan, xar bir energetik soha ichida elektronning energiyasi to’lqin vektorining davriy funksiyasidan iborat bo’ladi:


bu erda E_a - soha xosil kiluvchi atom satxining energiyasi, s - ushbu satxning kushni atomlar maydoni ta’sirida siljishi, A - kristallda to’lqin funksiyalarining uzaro tutashuvidan elektronlarning bir atomdan ikkinchisiga utish extimolligini xisobga oluvchi uzaro almashish integralidir.
To’lqin funksiyalari qanchalik kuchli tutashishsa, A shuncha katta bo’ladi, ya’ni kushni atomlar uzlarining elektronlari bilan kattarok chastota bilan almashadilar.
S - xolat uchun A_s < 0, p - xolat uchun A_p > 0 shuning uchun (127.8) - ifodani kuyidagicha yozish mumkin:


bu erda A_s, A_p - bu xolatlarning almashish integrallarining absolyut kiymatlaridir.
kuyidagi 224 - rasmda, (127.9) va (127.10) tenglamalar asosida chizilgan, s - va p - sohalarning dispersiya chiziklari keltirilgan. s - xolat uchun E_s k = 0 da minimal kiymatga ega:


U(k) = E_a + s + 2 A cos ka ,


(127.8)


U_s (k) = E'_s- 2 A_s cos ka,


(127.9)


U_p (k) = E'_p + 2 A_p cos ka ,


(127.10)






393

To’lqin vektorining oshishi bilan cos ka kamayadi, E(k) usib boradi va

k = + ^L da ^ = K+ ^{2 A}


To’lqin vektorining 0 dan


s maksimal kiymatga erishadi.
l


a


gacha uzgarishida E_s(k) xam


yukoridagidek uzgaradi. Elektronlar uchun mumkin bulgan






224 - rasm. S - va P - sohalarning dispersiya chizitslari


s - soha kengligi E s_min dan E s_max gacha bulgan kiymatga teng:


AE„ = E - E = 4A.


(127.11)


Bu kiymat kushni atomlar to’lqin funksiyalarining tusish darajasiga
bog’liq.


p- xolat uchun,


k = +


l


a


bulganda


U = E'- 2 A
pmin p p


k = 0 bulganda,


394

Umax - K ^{+ 2} A

kiymatgaegabo’ladi. p - sohaningkengligi


AE„ - E - E - 4A„ (127.12)


^{p p} max ^p min ^p


ga teng va A_r - almashish integrali kiymati bilan aniklanadi.
^oida buyicha, atom satxi qancha yukori joylashgan bo’lsa,
kristalldagi bu satxning elektronlari to’lqin funksiyalari bir -
birini shunchalik kuchli tusadi, natijada almashish integrali
kiymati shuncha katta bo’ladi va shu satxdan tashkil topgan energetik
soha kengligi xam katta bo’ladi. SHu sababli, atomning yukori
satxlaridan, tor takiklangan sohalar bilan ajralgan, keng energetik
sohalar xosil bo’ladi.
To’lqin vektorining davriy funksiyasi bulgan elektronning E(k)
energiyasi, tulassiklli uzgarishga ega bulgandagi to’lqin funksiya
kiymatlarining sohalari Brillyuen soualari deb ataladi.
, _--p
Bir o’lchamli kristallarda birinchi Brillyuen sohasi ^{k -} dan
p ^2p
gacha davom etadi va _a uzunlikka ega bo’ladi. Dispersiya egri
a a


k - +


, , p
chiziklarining ekstremal kiymatlarida, ya’ni k = 0, ^{k -} - nuqtalar
yakinida cos ka ni k buyicha katorga yoysak
ka


²


cos ka - 1