Mustaqil ish matematika Сонли қаторлар

Mustaqil ish matematika


Сонли қаторлар

ифодага сонли қатор (С.Қ.) дейилади. Бунда с.қ. ҳадлари, эса с.қ. нинг умумий ҳади дейилади.

Қаторнинг дастлабки n та ҳадларининг йиғиндиси

1. қаторнинг қисмий йиғиндиси (қ. й.) дейилади.

   
   

Равшанки қаторнинг қ. й. си сонли кетма – кетликдир, чунки

сонли кетма – кетлик бўлганидан, унинг лимити ҳақида гапириш мумкин.

Агар чекли лимит мавжуд бўлса, уни (1) қаторнинг йиғиндиси дейилади ва қатор яқинлашувчи дейилади.

Агар мавжуд бўлмаса ёки чексизга тенг бўлса, қатор узоқлашувчи дейилади.

Агар қатор яқинлашувчи бўлса, (1) ифодадаги ҳадлари чексиз кўп сонлар йиғиндининг қиймати чекли эканлигини, агар қатор узоқлашувчи бўлса унинг йиғиндиси чексиз катта ёки унинг йиғиндиси йўқ (бўлмаслигини) билдиради.

Мисол. Ушбу

қаторни қараймиз.

(3) қатор биринчи ҳади ва махражи q бўлган геометрик прогрессиядир.

Агар бўлса, (3) қаторнинг қ. й. си

бўлади.

Агар бўлса ва бўлса бўлади.

Агар бўлса (3) дан

бўлиб ва бўлганидан бўлса қатор яқинлашувчи ва бўлса узоқлашувчи эканлиги келиб чиқади.

Агар бўлса

бўлиб мавжуд бўлмайди, чунки n – жуфт бўлса ва n – тоқ бўлса бўлади, яъни нинг мавжудлиги n нинг чексизликка интилиш усулига боғлиқ бўлади. Бу ҳалда ҳам лимитга эга бўлмайди.

Шундай қилиб чексиз камаювчи геометрик прогрессиянинг ҳадларидан тузилган (3) с. қ. бўлганда яқинлашувчи ва бўлганда узоқлашувчи бўлади.

бўлганидан

(3) қатор бўлганда яқинлашувчи бўлиб, унинг йиғиндиси га тенг бўлар экан.

Изоҳ. (1) с.қ. нинг биринчи n та ҳадани ташлаб юборишдан ёки қўшиб қўйишдан унинг яқинлашиш ёки узоқлашиши ўзгармайди, лекин йиғиндиси ўзгаради.

Сонли қаторнинг яқинлашиш аломатлари

қаторнинг барча ҳадлари бўлса, бундай қатор мусбат ҳадли қатор дейилади. Агар қаторнинг барча ҳадлари манфий бўлса, манфий ишора қавсдан чиқарилиб мусбат ҳадли қаторга келтирилади.

Шу сабабли сонли қаторнинг яқинлашиш аломатларини мусбат ҳадли қатор учун келтирамиз ва у манфий қаторлар учун ҳам ўринли эканлигини таъкидлаймиз.

Кўп амалий масалаларни қаторлар назариясини қўллаб ечишда унинг йиғиндисини топмасдан яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканлигини билиш етарли.

Қаторнинг яқинлашувчи эканлиги уни йиғиндиси чекли сон эканлигини билдиради.

Энди сонли қатор яқинлашишининг бир нечта аломатларини келтирамиз.

қатор яқинлашишининг зарурий аломати.

Теорема. (1)с.қ. яқинлашса, n чексиз ўсиб борганда унинг n – ҳади нолга интилади, яъни .

М:

Энди бўлиб, (1) с.қ. узоқлашувчи бўлишига мисол келтирамиз:

сонли қаторни қараймиз. Бу қаторга гармоник қатор дейилади

Равшанки, гармоник қатор учун яъни қатор яқинлашишининг зарурий шарти бажарилади.

Исбот қиламизки, гармоник қатор узоқлашувчи.

Гармоник қаторнинг номерли қисмий йиғиндисини қараймиз:

Бу жараённи давом эттирсак

Бундан кўринадики яъни кетма – кетлик чекли лимитга эга эмас, бундан кўринадики гармоник қатор узоқлашувчи экан.

Мусбат ҳадли қаторларнинг таққослаш.

Мусбат ҳадли иккита қатор берилган бўлсин.

Теорема. Агар (1) биринчи қаторнинг ҳадлари (4) тўртинчи қаторнинг ҳадларидан катта бўлмаса, яъни

бу ҳолда:

1). (4) қатор яқинлашса, (1) қатор ҳам яқинлашади;

2). (1) узоқлашса, (4) қатор ҳам узоқлашади.

Мисол. қаторнинг яқинлашиш ёки узоқлашишини текширинг.

Ечиш. (4) қатор сифатида

Гармоник қаторни қараймиз ва (5) шартни бажарилишини текширамиз:

чунки

гармоник қатор бўлиб, у узоқлашувчи ва демак берилган с. қ. ҳам узоқлашувчи.

Даламбер аломати. (Даламбер Жан 1717 – 1783 француз олими)

Теорема. Агар мусбат ҳадли (1) қаторнинг ҳадининг - ҳадга нисбати да (чекли) лимитга эга бўлса, яъни

бўлса, у вақтда

1. бўлганда (1) с. қ. яқинлашади.

2. бўлганда (1) с. қ. узоқлашади.

3. бўлганда бу теорема қаторнинг яқинлашишига ёки узоқлашишига жавоб бера олмайди. Бу ҳолда (1) қаторнинг яқинлашиши ёки узоқлашишини аниқлаш учун бошқа қатор яқинлашиши белгиларидан фойдаланилади.

Коши аломати (Коши Огюстен Луи. 1789 – 1875 таниқли француз математиги.)

Теорема. Агар (1) ҳадли қатор учун миқтор да чекли лимитга эга, яъни

1. бўлганда (1) қатор яқинлашади.

2. бўлганда (1) қатор узоқлашади.

3. бўлганда бу теорема ҳам қаторнинг яқинлашиши ёки узоқлашишига жавоб бераолмайди.

Мисол. қаторнинг яқинлишишини текширамиз.

Ечиш. Бу қаторнинг яқинлашишига қатор яқинлашишининг Даламбер аломатини ҳам, Коши аламотини ҳам қўлласа бўлади.

Ҳақиқатан:

1) бўлганидан

яъни берилган қатор яқинлашувчи

2)

Амалда сонли қаторларнинг текширганда бўлган ҳол кўп учрайди. Масалан горманик қатор учун

Бундай ҳалда қуйидаги қатор яқинлашишининг интеграл аломати деб аталувчи қатор яқинлашишининг аломати кўпинча самара беради.

Қатор яқинлашишининг интеграл аломати.

Теорема. Агар (1) қаторнинг ҳадлари мусбат ва ўсувчи бўлмасин, яъни

ва ўсмайдиган шундай узлуксиз функция мавжуд бўлсинки

Бу ҳолда, агар

хосмас интеграл яқинлашса, (1) қатор ҳам яқинлашади, (8) хосмас интеграл узоқлашса (1) сонли қатор ҳам узоқлашади.

Мисол учун гармоник қаторни қарайлик:

бўлганидан хосмас интегрални қараймиз.

Хосмас интегрални тарифига асосан

яъни хосмас интеграл узоқлашувчи ва демак гармоник қатор ҳам яқинлашувчи.