Mustaqil ish matematika Сонли қаторлар

Ўзгарувчан ишорали қаторлар. Абсалют ва шартли яқинлашиш

Агар қаторнинг ҳадлари орасида мусбатлари ҳам, манфийлари ҳам бўлса, қатор ўзгарувчан ишорали қатор дейилади.

Теорема. Ўзгарувчан ишорали қатор

ҳадларнинг абсолют қийматларидан тузилган

қатор яқинлашса, берилган ўзгарувчан ишорали қатор ҳам яқинлашади.

(9) ишораси ўзгарувчан қатор ҳадларидан тузилган (10) қатор яқинлашса, берилган қатор абсолют яқинлашувчи дейилади.

Агар (9) ишораси ўзгарувчи қатор яқинлашса, лекин (10) узоқлашса, берилган (9) ўзгарувчан ишорали қатор шартли ёки ноабсалют яқинлашувчи қатор дейилади.


Ишораси навбатлашувчи қаторлар

Кўп амалий масалаларни ечишда, масалан, аниқ интеграл қийматини қаторлар ёрдамида ҳисоблашда, дифференциал тенгламаларни ечишда ишораси ўзгарувчи қаторнинг хусусий ҳоли бўлган ишораси навбатлашувчи қатор кенг ишлатилади.

қатор ишораси навбатлашувчи қатор дейилади, агар ҳадлар ҳар қандай учун ҳар хил ишорага эга бўлса, яъни қатор ҳадлари ўз ишорасини навбат билан ўзгартирса, яъни

Ишораси навбатлашувчи қаторнинг яқинлашиши ёки узоқлашиши қуйидаги теорема ёрдамида аниқланади.

Теорема (Лейбниц аломати). (Лейбниц Готфрид Фридрих 1646 – 1716 улуғ немис математиги).

Агар (11) ишораси навбатлашувчи қаторнингҳадлари:

1) бўлса (11) қатор яқинлашади.

Мисол. қаторни яқинлашишини текширинг.

Ечиш. Лейбниц аломати шартларини бажарилишини текширамиз:

1)

Лейбниц аломатларининг иккала шарти бажарилгани учун берилган қатор яқинлашувчи. Берилган ишораси навбатлашувчи қаторнинг ҳадларининг абсолют миқдоридан тузилган

қатор эса, гармоник қатор бўлганидан узоқлашувчи. Демак берилган ишораси навбатлашувчи қатор шартли (ноабсолют) яқинлашувчи қатор экан.

Изоҳ. Ишораси навбатлашувчи қаторнинг қолдиқ ҳади

эканлигини исботлаш қийин эмас, хусусий ҳолда келиб чиқади. тенгсизлик тақрибий ҳисоблашлардаги хатони баҳолашда кенг қўлланилади.