нинг даражалари бўйича даражали қаторлар
Кўринишидаги қатор ҳам даражали қатор дейилади ва бўлганда биз ўрганган (3). Д. қ. ҳосил бўлади. (6) д. қ. нинг яқинлашиш соҳасини аниқлаш учун алмаштириш киритсак
д. қ. ҳосил бўлади. Агар (7) д. қ. нинг яқинлашиш интервали бўлса, (7) д.қ. нинг яқинлашиш интервали бўлади.
Тейлор ва Маклорен қаторлари. (Брук Тейлор. 1685 – 1731) (Маклорен Колин 1698 – 1748 инглиз математиги.)
функцияда нуқта атрофида - тартибли ҳамма ҳосилаларга эга бўлган функция бўлсин функциялар учун Тейлор формуласи
формула ўринли эканлиги келтирилган эди, бу ерда
Агар функция нуқта атрофида барча тартибли ҳосилаларга эга (ҳосилалар чегараланган бўлса) қолдиқ ҳад нолга интилади, яъни
Бу ҳолда (7) да лимитга ўтсак
(10) га Тейлор қатори дейилади.
Хусусий ҳолда бўлса
Бизга маълум бўлган элементар функцияларнинг барчаси учун шундай нуқта ва мавжуд бўлиб, интервалда бу функциялар Тейлор ёки Маклорен қаторига ёйилишини такидлаб ўтамиз.
Энди баъзи элементар функцияларнинг Тейлор ва Маклорен қаторига ёйилмасини исботсиз келтириб ўтамиз:
130-§. Биномал қаторлар
Қаторлар назариясида амалиётда қўллашда муҳим ўрин тутадиган биномал қатор деб аталувчи даражали қаторни ўрганамиз.
(ихтиёрий ҳақиқий ўзгармас сон) функцияни Макларен қаторига ёйсак
(1) даражали қаторга биномал қатор дейилади ва бўлганда яқинлашади.
Хусусий ҳолда
1) бўлганда:
2) бўлганда:
3) бўлганда:
Биномал қатор функциянинг берилган нуқтадаги қийматини тақрибан ҳисоблашда, баъзи функцияларни даражали қаторга ёйишда, масалан, кенг ишлатилади.
131-§. Аниқ интегралларни даражали қаторлар ёрдамида ҳисоблаш
Биз функцияларнинг бошланғич функцияларини элементар функциялар билан ифодаланмаслигини аниқлаган эдик.
Ана шундай функцияларнинг бирор кесмадаги аниқ интегралини ҳисоблаш талаб қилинсин. Бундай масалани ечиш учун интеграл остидаги функцияни даражали қаторга ёйиб, даражали қаторларнинг интеграллаш қоидасига асосан уни интеграллаш кифоя.
Мисол. интеграл ҳисоблансин.
Ечиш. 129 - § даги нинг ёйилмасида ни га алмаштирсак.
Бу тенгликни 0 дан а гача интегралласак
Бу тенглик ёрдамида аниқ интегралнинг қийматини ихтиёрий даражада аниқликда ҳисоблай оламиз.
Худди шунингдек
Do'stlaringiz bilan baham: | 
