Mustaqil ish matematika Сонли қаторлар

Функцианал қаторлар

Агар қаторнинг ҳадлари нинг функциялари бўлса, бу қатор функцианал қатор дейилади.

Ушбу:

Функционал қаторни (ф.қ.) қараймиз.

га аниқ қиймат бериб, турли срн қаторларнинг ҳосил қиламиз:

(2) сонли қатор бўлиб, у яқинлашувчи ва узоқлашувчи бўлиши мумкин.

нинг функционал қатор яқинлашадиган қийматлари тўплами шу қаторнинг яқинлашиши соҳаси дейилади.

Равшанки, қаторнинг яқинлашиши соҳасидаги йиғиндиси нинг функцияси бўлади ва кўринишда белгиланади.

Биз асосан функционал қаторнинг бир хусусий ҳолини, яъни бўлганда ҳосил бўладиган даражали қатор деб аталувчи функционал қаторни ўрганамиз.


Даражали қаторлар

Ушбу

кўринишдаги ф. қ. даражали қатор деб аталади, бу ерда ўзгармас сонлар бўлиб, улар дарражали қаторнинг (д. қ.) коэффицентлари дейилади. Д. қ. нинг яқинлашиш соҳаси интервал, сегмент ва ярим сегмент ва хатто бирор нуқта бўлиши мумкин.

Д. қ. нинг яқинлашиш соҳаси қуйидаги теорема ёрдамида аниқланади.

Теорема (Абель теорема) Абель Нилъс Хенрик (1802 - 1829) норвегия математиги.

1) Агар д. қ. нолдан фарқли бирор қийматда яқинлашса нинг

тенгсизликни қаноатлантирувчи барча қийматларида абсолют яқинлашади;

2) Агар (3) д. қ. бирор қийматда узоқлашса, нинг

тенгсизликни қаноатлантирувчи ҳар бир қийматида узоқлашади.

Абель теоремаси д. қ. яқинлашиш оралиғини топиш имконини беради. Ҳақиқатан д. қ. нуқтада яқинлашса, Абель теоремасига асосан интервалда абсолют яқинлашади ва нуқтада узоқлашувчи бўлса интервал ташқарисида узоқлашувчи бўлади.

Бундан, шундай сон мавжудки, бўлганда д. қ. абсолют яқинлашади ва бўлганда узоқлашади сони д. қ. нинг яқинлашиш радиуси дейилади.

интервалнинг икки учида берилган қаторнинг яқинлашиши алоҳида сонли қатор сифатида текширилади. нуқталарда қаторнинг яқинлашиши ёки узоқлашишига қараб, қаторнинг яқинлашиш соҳаси бўлиши мумкин.

Даражали қаторнинг яқинлашиш радиуси

формулаларнинг бири билан топилади.

(3) Д. қ. нинг мухим хоссалари шундан иборатки, агар (1) оралиғда яқинлашса, унинг йиғиндиси шу интервалда узлуксиз бўлади оралиқда ҳадлаб дифференциаллаш ва интеграллаш мумкин, яъни: