O ’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi Samarqand davlat universiteti

Мустақил ўрганиш учун саволлар:
1. Айний шакл алмаштириш деб нимага айтилади?
2. Кўпҳадлар ва бирҳадлар мактабда қандай тартибда ўрганилади?
3. Кўпҳадларни кўпайтувчиларга ажратиш қандай усуллари ўрганилади?
4. Алгебраик каср тушунчаси қандай ўрганилади?
5. Алгебраик касрлар устида қандай амаллар қоидалари мавжуд ва уни ўрганишнинг қандай хусусиятлари мавжуд?
6. Кўпҳадлар устида қандай амаллар ўрганилади ва уларни ўрганиш тартиби ва усуллари ҳақида нималарни биласиз?


13-МАШҒУЛОТ. TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNI O‘RGANISH METODIKASI
Режа
1. Тенглама ва тенгсизликлар йўналиши мазмуни ва аҳамияти.
2. Йўналишнинг асосий тушунчаларини ўргатиш.
3. Тушунчаларни ўрганиш умумий кетма-кетлиги.
4.Тенглама ва тенгсизликларни ўрганиш хусусиятлари.
Таянч иборалар: тенглама, тенгсизлик, йўналишлар, асосий тушунчалар, ечиш усуллари, тенглама ва тенгсизликлар системалари, ўрганиш услубияти хусусиятлари.
Машғулотнинг мазмуни
1. Тенглама ва тенгсизликлар математиканинг асосий йўналишларидан бири бўлиб, мактабда уни ўрганилиши асосан унинг тараққиёти ҳақида тарихий маълумотларни баён этиш билан қўшиб олиб бориш мақсадга мувофиқ. Айниқса, бу йўналиш ривожлантиришда ўзбек математиклари маълум ҳисса қўшганликларини эслатиб ўтиш жоиздир. Масалан, Ал-Хоразмий , Абу Райхон Беруний, Форобий каби мутафаккирларнинг бу борадаги ишларини таъкидлаб ўтиш лозим.
Тенглама ва тенгсизликлар алгебраси 16-18-асрларда шаклланган эди. Бу пайтда координаталар усули ва аналитик геометрия ҳали кашф этилмаган эди, ва алгебрада матнли масалаларни ечишнинг воситаси сифатида, формулаларни қўллаш, геометрик объектларни аниқловчи формулаларни ўрганадиган фан асослари ўрнатилаётган эди. Алгебраик белгилашларнинг кашф этилиши ва тенгламалар ечиш усуллари такомиллашуви билан алгебра мустақил математика соҳаси сифатида таркиб топди.
Тенглама ва тенгсизликларни ўрганишда уч асосий йўналиш мавжуд: матнли масалалар ечишнинг алгебраик усулларини ўрганишда амалий йўналиш; назарий-математик йўналиш: тенглама ва тенгсизликлар, улар системаларининг энг муҳим синфлари; умумлашган усул ва тушунчаларни ўрганиш йўналиши мантиқий тартиблашга имкон беради; мактаб математика курси бошқа йўналишлари билан узвий алоқаларни ўрнатиш. Масалан, сон йўналиши учун бу йўналиш сонли системаларни кетма-кет кенгайтириш ғояси билан зарур. Функционал йўналишда тенглама ва тенгсизликлар усулининг қўлланилиши функцияларни текширишга қўллаш, масалан, уларнинг аниқланиш ва ўзгариш соҳаларини топиш, илдизларини аниқлаш, ишора сақлаш оралиқларини текширишларга қўлланилишини кўриш мумкин.
Функционал йўналиш эса ўз навбатида тенглама ва тенгсизликларни кўргазмали график равишда текширишга таъсир кўрсатади. Йўналишнинг алгоритмиклиги турли синф тенгламаларини ечиш жараёни алгоритмлар асосида рўй беришида кўринади.
Асосий тушунчалари. Тенглама. М – алгебраик амаллар тўплами, х – М даги ўзгарувчи, у ҳолда М даги х га нисбатан тенглама деб

кўринишдаги предикатга айтилади (а(х) ва в(х) берилган амалга нисбатан ифодалар). Предикат бу ўзгарувчили мулоҳаза.
Тенгламанинг икки жиҳати мавжуд: тенглама-предикатнинг махсус тури, иккинчидан, иккита ифодани бирлаштирувчи тенглик, бунда биринчиси – маъноли қисми бўлиб, илдизни аниқлаш учун, иккинчиси – белгили қисми- тенгламани тасвирловчи ёзувнинг хусусияти .
Яна бир қисми амалий характерда бўлиб, турли масалаларни ечиш учун воситадир.
Мактабда тенглама қуйидагича таърифланади:
Таъриф. Номаълумни ўз ичига олган тенглик тенглама дейилади.
Тенгламанинг илдизи деб номаълумнинг шундай қийматига айтиладики, бунда бу тенглама тўғри тенгликка айланади.
Тенгламани ечиш – тенгламанинг барча илдизларини топишга айтилади.
Тенглама ва тенгсизликларни ўрганишда тенг кучлилик ва мантиқий келиб чиқиш тушунчаларини баён этишда қуйидагиларга эътиборни жалб этиш талаб этилади: илдизлар тўпламларини текшириш ва уларнинг устма-уст тушишига ишонч ҳосил қилиш; тенгламалар кўриниши хусусиятларидан фойдаланиш, бир кўринишдан иккинчисига кетма-кет ўтишни амалга ошириш.
Тенглама ва тенгсизликлар, уларнинг системаларини шаклини алмаштиришнинг уч асосий тури мавжуд: тенглама бирор қисми шаклини ўзгартириш, масалан,

тенглама чап қисмини шаклини ўзгартириб қуйидаги кўринишга келтириш мумкин:
.
Бунда айний шакл алмаштиришларнинг қавсларни очиш, ўхшаш ҳадларни ихчамлаш ва ҳ.к. каби усулларидан фойдаланиш мумкин; тенглама иккала томонини мувофиҳ ҳолда ўзгартириш (шаклини алмаштириш). Масалан, бунга тенглама иккала томонига арифметик амаллар ёки элементар функцияни қўллаш натижасини олиш мумкин: яна икки томонига бирор ҳад қўшиш, иккала томонини бирор сонга кўпайтириш кабилар хам шулар жумласидандир. Қуйидаги муносабатлардан

тенглама ва тенгсизликлар шаклини ўзгартириш учун қўлланилади.
Тенглама ва тенгсизлик мантиқий шаклини алмаштириш, бунда конъюнкция ва дизъюнкция хоссаларидан фойдаланилади, яъни тенгламалар системасида бирор компонентни ажратиш

ўзгарувчини алмаштириш

системага олиб келади,

системадан

тенгламага ўтиш, тенгламалар турли ечиш ҳолларини кўриб чиқиш усули ҳам мавжуд, масалан:
2x + 3x| =1
тенгламани ечишда

ҳолларни кўриб чиқишга тўғри келади .
Тенглама ва тенгсизликларни ўрганишнинг тўрт босқичи мавжуд: тенгламалар асосий типларини ўрганишнинг боғлиқмаслиги; тенгламалар синфларининг доимий кенгайиб бориши, тенгламалар ечиш усулларини шакллантириш ва тенгламалар ечишни таҳлил этиш; тенглама ва тенгсизликлар йўналиши материалларини синтез қилиш.
Дастлаб тенглама ва тенгсизликлар қуйидаги тартибда ўрганилади:

• 
  бир номаълумли чизиқли тенглама;
  
• 
  бир номаълумли чизиқли тенгсизлик;
  
• 
  икки номаълумли иккита чизиқли тенгламалар системаси;
  
• 
  квадрат тенглама ва тенгсизликлар;
  
• 
  содда иррационал ва трансцендент тенглама ва тенгсизликлар;
  

Тенгламалар ечишнинг уч хил усули алоҳида баён этилади:мантиқий усуллари; ҳисоблаш усуллари; кўргазмали-график усули, яъни сон тўғри чизиғи ёки координаталар текислигидан фойдаланиб ечиш усуллари.
Ўрганиш услубияти иккита босқичда амалга оширилади: рационал тенглама ва тенгсизликлар ва уларнинг системалари; трансцендент ва иррационал тенглама ва тенгсизликлар ва уларнинг системалари.
Бунда икки хил усулдан фойдаланилади: тенглама ва тенгламалар системалари тушунчалари сўнгра чизиқли, квадрат, тригонометрик ва х.к. тенгсизликларни ўрганиш; тенгсизликларни уларга мос тенгламалар синфларини ўргангандан сўнг қаралади.
Тенглама ва тенгсизликларни ўрганиш 5-6–синфлардан бошланади.7-9-синфларда у давом эттирилиб, турли тенгламалар синфлари ва уларнинг ечиш усуллари қаралади.
Ўрта мактаб, академик лицей ва касб-ҳунар коллежларида алгебра курсини ўрганиш жараёнида квадрат тенглама ва тенгсизликларни ечиш ва текшириш асосий ўринни эгаллайди. Шу сабабдан бунда ўқувчиларга ижодий фикрлаш ва математик тадқиқот этиш кўникмаларини шакллантириш имкониятлари мавжуд. Буни амалга оширишда савол-жавоблар мажмуасини босқичма-босқич қўллашга асосланган технология муҳим аҳамиятга эга.
Технологиянинг 1-босқичида ечиш усули ностандарт бўлган топшириқларни ўз ичига олиб, илдизлари турли ҳамда мавжуд бўлмаган ҳолларни ва ностандарт равишда берилган квадрат тенглама ва тенгсизликларни ёки квадрат тенглама ва тенгсизликка келтириладиган тенглама ёки тенгсизликларни тадқиқ қилишга доир масалалар мухокама этилади. Масалан,
1. в нинг шундай қийматларини топингки, тенгламанинг илдизлари бутун бўлсин.
2. ифода фақат мусбат қийматлар қабул қилишини исботланг.
2-босқичда эса тест саволларини қўллаш орқали ўқувчиларнинг квадрат тенглама ва тенгсизликларни ечиш усуллари кўникмаларини эгаллашлари мустаҳкамланади.Масалан:
1. ва тенгламанинг катта ва кичик илдизлари бўлса, у ҳолда
А. Б. В. 36 Г. Д.-
3-босқичда таҳлил этишга доир топшириқлар муҳокама этилади. Масалан: ифоданинг энг катта қийматини топинг; илдизлари тенглама илдизларидан 2 марта катта бўлган квадрат тенглама тузинг.
4-босқичда квадрат тенгламаларни турди хил масалалар ечишдаги аҳамиятини кўрсатишда бу тенгламалар билан ечиладиган масалалар синфлари алоҳида аниқ мисоллар асосида кўрсатилиши, масала таҳлилини муаффақиятли амалга ошириш учун имконият яратади. Бунда қуйидаги синфлар ажратиб кўрсатилиши мумкин:
1.Тузилган квадрат тенглама илдизларга эга эмас(масала ечимга эга эмас).
2.Тузилган квадрат тенглама битта ҳақиқий илдизга эга, у ҳам масала ечими бўла олмайди.
3.Квадрат тенглама битта илдизга эга ва у масала ечими бўлади.
4.Квадрат тенглама иккита рационал ечимга эга, иккаласи ҳам масала масала шартини қаноатлантирмайди.
5.Квадрат тенглама иккита илдизга эга, улардан бири масала ечими бўлади, иккинчиси масала шартини қаноатлантирмайди.
6.Квадрат тенглама иккита илдизга эга ва иккаласи ҳам масала ечими бўлади.
5-босқичда эса мазкур тенглама ва тенгсизликларни ёрдамида исботлашга доир масалаларни ечиш ва ниҳоят охирги босқичда квадрат тенгламалар илдизларини текшириш параметрга боғлиқ масалаларни таҳлил қилиш амалга оширилади.Бу босқичларнинг ҳар биридаги ўқувчилар фаолияти уларнинг фикрлаш фаолиятини ривожлантиришга муҳим таъсир кўрсатади.
Тенгсизликларни ўрганиш хусусиятлари қуйидагилардан иборат: тенгсизликлар назарияси ҳақида тушунчалар берилади; ечишда кўргазмали-график воситалардан фойдаланилади; ечишнинг махсус усуллари ҳамда ностандарт усулларидан фойдаланилади; тенгсизликларни исботлашга доир машқларни ечиш ҳам амалга оширилади.