Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

22 -МАВЗУ:АНИ+ ИНТЕГРАЛЛАРНИ ТА+РИБИЙ ЩИСОБЛАШ.
ЩОСМАС ИНТЕГРАЛЛАР.
Режа::

1. 
   Ани= интегралларни та=рибий щисоблаш.
   
2. 
   Щосмас интеграллар.
   

Адабиётлар: 1, 2, 4.
1. Ани= интегралларни та=рибий щисоблаш.
Интеграллар назариясидан маълумки, кыплаб берилган интегралларни бошлан`ич функциясини ю=орида келтирилган усуллар билан топиб былмайди. Бундай щолларда берилган ани= интегралларни та=рибий щисоблаш формулаларидан фойдаланиб =ийматини топиш мумкин.
А. Ты`ри тыртбурчаклар формуласи. f(x) функция [а; b] сегментда берилган ва узлуксиз былсин. Бу функциянинг ани= интеграли
_в
 f(x)dx ни та=рибий ифодаловчи формулани келтирамиз.
^а
[a; b] сегментни x₀=a12<...n-1n=b ну=талар ёрдамида n та тенг былакка быламиз. Равшанки, бу щолда х_к=х_к+1-х_к=(в-а)/n,
x_k=a+k((b-a)/n) (k=0, 1, 2,..., n) былади. Берилган f(x) функциянинг х_к ну=тадаги =иймати f(x_k) ни щисоблаб, f(x) нинг [x_k; x_k+1] сегмент быйича ани= интегралини =уйидагича. х_к+1
f(x)dxf(x_k)x_k=f(x_k)(b-a)/n.
х_к
та=рибий ифодалаймиз. Бундай та=рибий формулани щар бир
[x_x; x_k+1] (k=0, 1, 2, ..., n-1) сегментга нисбатан ёзиб, сынг уларни щадлаб =ышиб топамиз: х₁ х₂
 f(x)dx=f(x₀)(b-a)/n,  f(x)dx=f(x₁)(b-a)/n,
х₃ ^а в х₁
 f(x)dx=f(x₂)(b-a)/n, ...,  f(x)dx=f(x_n-1)(b-a)/n,
х₂ х_{n-1
х1 х2 х3 в}

• 
  f(x)dx+  f(x)dx+  f(x)dx+...+  f(x)dx=(b-a)n[f(x₀)+f(x₁)+...+f(x_n-1)].
  

^а _в ^{х1 х2} x_{n-1 n-1}
Демак,  f(x)dx=(b-a)/n[f(x₀)+f(x₁)+f(x₂)+...+f(x_n-1)]=(b-a)/nf(x_k)
^{а к=0}
(1). Бу (1) формула ты`ри тыртбурчаклар формуласи дейилади.
2) Трапециялар формуласи. [а; в] сегментни ю=оридагидек n та тенг былакка былиб, f(x) функциянинг [x_k; x_k+1] сегмент быйича олинган ани= интегралини =уйидагича
х_к=1
 f(x)dx(f(x_k)+f(x_k+1))/2x_k=(f(x_k)+f(x_k+1))/2 (b-a)/n та=рибий
х_к ифодалаймиз. Бундай та=рибий формулани щар бир
[x_k; x_k+1] k=0, 1, 2, ..., n-1) сегментга нисбатан ёзиб, сынг уларни щадлаб =ышиб топамиз:
х₁ х₂ х₃
 f(x)dx+  f(x)+  f(x)dx+...+
_в ^а х₁ х₂
х_n-1f(x)dx=(ba)/n[(f(x₀)+f(x₁))+(f(x₁)+f(x₂))+(f(x₂)+f(x₃))+..
.+(f(x_n-1)+f(x_n))]=(b-a)/n[f(x₀)+2f(x₁)+2f(x₂)+...+2f(x_n-1)+f(x_n)] ._в
Демак,  f(x)dx=(b-a)/n
^а
[f(x)+f(x_n)+2f(x₁)+2f(x₂)+...+2f(x_n-1)]. (2). Бу (2) формула трапециялар формуласи деб аталади.

2. 
   Хосмас интеграллар.
   

1. 
   f(x) функция [a; +) орали=да берилган ва узлуксиз былсин. Бу функциянинг [a;+) орали=нинг исталган чекли [a; y] (a

_{у у
а} f(x)dx интеграл у га бо`ли= былади: F(y)= _a f(x)dx. Шундай =илиб, берилган f(x) функция ёрдамида F(y) функция щосил былади.
1-Таъриф. Агар у + да F(y) функциянинг лимити мавжуд былса, бу лимит f(x) функциянинг [a;+ ) орали=даги хосмас интеграли деб
_{+ + у}
аталади ва  f(x)dx каби белгиланади:  f(x)dx=limF(y)=lim_a f(x)dx.
_ ^{а а у у}
Бундай _a f(x)dx интеграл чегараси чексиз хосмас интеграл деб щам айтилади. _у
Агар у+ да F(y)=  f(x)dx функциянинг лимити мавжуд ва чекли
_ ^а
былса, у щолда _а  f(x)dx щосмас интеграл я=инлашувчи дейилади.
Агар у+ да F(у) функциянинг лимити чексиз былса, у щолда
_+
a f(x)dx хосмас интеграл узо=лашувчи деб аталади.Айталик,f(x) функция (-; а] ёки(-;+) орали=да берилган ва узлуксиз былсин. Бу функциянинг (-; а] ва (- ;+ ) орали=лар быйича хосмас интеграллари щам ю=оридаги каби таърифланади:
_{а а + t}
 f(x)dx=lim  f(x)dx(- f(x)dx=lim  f(x)dx(- ^{- у- у - у- у
t}

2. 
   f(x) функция [a; b) ярим интегрвалда берилган ва узлуксиз былиб, х=в да (a

_t
Ф(t)= _a f(x)dx.
2-Таъриф. Агар tb-0 да Ф(t) функциянинг лимити мавжуд былса, бу лимит чегараланмаган f(x) функциянинг [a; b) орали=даги хосмас интеграли деб аталади ва _{в
в t a}f(x)dx каби белгиланади:
f(x)dx=limФ(t)=lim f(x)dx. _в
^{a tв-0 a}
t
Агар tв-0 да Ф(t)=  f(x)dx нинг лимити мавжуд ва чекли былса, у щолда ^a
_в
a f(x)dx хосмас интеграл я=инлашувчи дейилади.
Саволлар:

1. 
   +андай интегралларга щосмас интеграллар дейилади?
   
2. 
   Я=инлашувчи хосмас интегралнинг хоссаларини келтиринг.