Oliy matematika asoslari

4 - § . Э лем ентар функцияларнинг узлуксизлиги
Б и з м а з к у р п а р а г р а ф д а э л е м е н т а р ф у н к ц и я л а р н и н г у з л у к с и з л и ­
ги м а с а л а с и б ил а н ш у г у л л а н а м и з . Б у м а с а л а л а р н и н г ку п ч и л и г и н и
Хал э т и ш д а ф у н к ц и я у з л у к с и з л и г и т а ъ р и ф и х а м д а чекли л им и т г а
эг а б у л г а н ф у н к ц и я л а р ус т ида а р и ф м е т и к а м а л л а р д а н ф о й д а л а н и -
л ад и .
1. 
Д а р а ж а л и ф у н к ц и и .4 у = х п ( п £ /V). Б и з чекли л им и т г а
эга б у л г а н ф у н к ц и я х о с с а л а р и н и у р г а н и ш д а / ( х ) ф у н к ц и я н и н г
а н у к т а д а чекли л им ит г а эга б у л и ш и д а н [ / ( х ) ] " ф у н к ц и я н и н г хам 
чекли л им ит г а эг а були б,
lim[/-(x)] = [!imf (х) f
х-*-а 
х - » и
т е н г л и к уринли б у л и ши н и к у рг а н эдик. Бу т е н г л ик д а н ф о й д а л а н и б
f ( x ) = x "  ф у н к ц и я н и н г
н у к т а д а уз л у к с и з л и г ин и и с бо т л а йм и з .
А в в а л о /i ( х ) = х 
ф у н к ц и я н и н г
V a £ R  
н у к т а д а
у з л у к с и з л иг и ни 
к у р с а т а й л и к . Бу н и н г учун 
VK> 0
учун б = е д еб ол инс а , | х — а | < б
т е н г си з л и к н и к а н о а т л а н т и р у в ч и б а р ч а х л а р д а i/, ( х ) — /i (а) | == 
= I х — а\  < е т е н г с и з л ик уринли б у ла д и . Бу эса т а ъ р и ф г а кура 
/ \ (х) = х ф унк ц ия ни нг а н у к т а д а у з л уксизл игини б ил д и р а д и . Д е м а к ,
limx = a
k->-a
Энди / ( х ) = х п ф у н к ц и я ни к а р а й л и к .
l i m x " = r l i m x ] " = a "
х -+ а  
(_ 
х -+ а  
J
т енгл икни э ъ т и б о р г а олиб
l i m / (х) = / ( а )
X -+ U
э к а н л и г и н и т о п а ми з . Бу эса / ( х ) = х " ф у нк ц и я н и н г V a ^ R  н у к т а д а
у з л у к с из л и г ин и б и л д и р а ди .
■2
 
2
8

---

2 . / (x)  = s i nx ф у н к ц и я V a € ^ ? н у к т а д а у з л у к с и з .
Х, аки ка т а и ха м, V fc> 0 га к ура 6 = е д е б о л са к, \ х —  а | < б
тенг с из л ик ни к а н о а т л а н т и р у в ч и б а р ч а л: л а р д а
I f ( x ) — f ( a )  | = | sinjc — s i n a | = | 2 sin x ~ a c o s ~ ^ - | <
< 2 - - ^ = ^ = U - a | < e
т е нг с и з л и к келиб ч и к а д и . Бу эса / ' ( x ) = s i n x ф у н к ц и я н и н г т а ъ р и ф г а
к ура V a £ / ? н у к т а д а у з л у к с и з л иг ин и б и л ди р а ди .
3. / ( х ) = c osx ф у н к ц и я V a 6 /? д а уз л укси з .
Х, акика т ан хам, / ( х ) = c o s x = s i n ( x - f - — ) э к а нин и э ъ т и б о р г а о л ­
сак, м у р а к к а б ф у н к ц и я у зл у к с и з л и г и х а к и д а г и т е о р е м а г а а с о с а н
c o s x ф у н к ц и я н и н г V a 6 /? д а у з л ук с и з л и г и кел иб ч ик а д и.
4. f ( x ) — t g x =  
ф у н к ц и я
(& = 0, ± 1 , ...) н у к ­
т а д а уз луксиз.
f ( x )  = c t g x =
ф у н к ц и я эса У а ф к п , k = 0, ± 1, + 2 , ... н у к т а ­
д а уз л укс и з .
Бу х о с с а л а р н и н г у р и н л и л и г и sinx, c o s x ф у н к к ц и я л а р н и н г у з л у к ­
сизлиг и ва у з л у к с и з ф у н к ц и я л а р у с т и д а г и а р и ф м е т и к а м а л л а р д а н
б ев о с и т а кел иб ч икади.
5. f ( x ) — а х ( а ф  1) к у р са т к и чл и ф у н к ц и я V x 0 6 R  н у к т а д а у з л у к ­
сиз.
Х а к и к а т а н хам,
limx
lim а х= а ^ ° = а х°
х^х0
э к а нин и э ъ т и б о р г а олсак, l i m / ( x ) = / ( х 0) 
т е нг л и к к а эг а б у л а м и з .
х-**о
Бу эса а х ф у н к ц и я н и н г Vx x d R  н у к т а д а у з л у к с и з л иг ин и б и л д и р а ди .
Б и з к у й и д а у з л у к с и з ф у н к ц и я л а р н и у р г а н и ш д а мухим урин 
т у т г а н т е ск а р и ф у н к ц и я н и н г м а в ж у д л и г и ва у з л у к с и з л и г и х а к и д а ­
ги т е о р е м а н и ис б отс и з к е л т ир а м и з .
Т е о р е м а . А г а р f ( x )