bo‘lsa, bo‘lishini isbotlang.
Isbot. Aytaylik, bo‘lsin. U holda bo‘ladi.
Ziddiyat. Bu esa chekli ekanini bildiradi. Chunki monoton o‘suvchi ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo‘lsa, limiti chekli aks holda limiti cheksiz bo‘ladi.
Har ikkala tomonidan limitga o‘tamiz: . Demak, bo‘ladi.
40(11). ketma-ketlikni limitini hisoblang.[10]
Yechish. ni logarifmlasak,
Demak, ekan.
41(11). Agar uchburchakning tomonlari va -tashqi chizilgan aylana radiusi bo‘lsa,
tengsizlikni isbotlang.
Isbot. Dastlab,
tengsizlikni o‘rinli ekanini ko‘rsatamiz.
Bunda, - yarim perimetr. Buning uchun Koshi tengsizligidan foydalanamiz.
Tenglik sharti da bajariladi.
Tenglik sharti da bajariladi.
42(9). Uchburchak tomonlarining uzunliklari va yuzasi bo‘lsa,
ekanini isbotlang.
Isbot. Uchburchak yuzasini hisoblash uchun Geron formulasiga ko‘ra
va yuqorida isbot qilingan
tengsizlikdan foydalansak,
tengsizlikka ega bo‘lamiz.
43(10). Yig‘indini hisoblang.[7]
Yechish. Misolni umumiy holda yechamiz:
Yig‘indini hisoblaymiz. Bunda - arifmetik progressiya, va
44(10). ketma-ketlikni limitini hisoblang.
Yechish. tenglikdan foydalansak,
bo‘ladi.
45(9). tenglamaning koeffitsiyentlari moduli jihatdan dan oshmaydi. Bu tenglama dan katta ildizga ega bo‘lishi mumkinmi?[6]
Yechish. Faraz qilamiz tenglama yechimga ega bo‘lsin.
Funksiya tuzib olamiz:
Bu funksiyani da o‘suvchi ekanini ko‘rsatamiz.
Chunki, .
Demak, funksiya da o‘suvchi.
bundan kelib chiqadi. Xulosa qiladigan bo‘lsak, tenglama dan katta ildizga ega emas.
46(9-11). Tomonlari bo‘lgan uchburchakning birinchi hosilasi deb, tomonlari bo‘lgan uchburchakni aytaylik, 2-hosila deb birinchi hosila uchburchakdan olingan hosilani aytaylik va hokazo. n-tartibli hosila deb -tartibli hosila uchburchakdan olingan hosilani aytaylik. lar qanday bo‘lganda to‘g‘ri burchakli uchburchakdan olingan hosila yana to‘g‘ri burchakli uchburchak bo‘ladi.
Yechish. Faraz qilaylik, . Ixtiyoriy soni uchun lar yana to‘g‘ri burchakli uchburchakning tomonlari bo‘ladi. Uchburchakning birinchi tartibli hosilasi tomonlari bo‘lgan uchburchak bo‘ladi. Pifagor teoremasiga ko‘ra bo‘lishi kerak. Bundan tenglikka ega bo‘lamiz.
Uchburchakning ikkinchi tartibli hosilasi tomonlari bo‘lgan uchburchak bo‘lib, yana to‘g‘ri burchakli uchburchak. Endi - tartibli hosilasini hisoblaymiz.
n-toq son bo‘lsin. U holda n-tartibli hosila tomonlari bo‘lgan uchburchak bo‘lib, yana to‘g‘ri burchakli uchburchak bo‘ladi.
47(10). Uchburchakning tomonlarining uzunliklari bo‘lsin. Uchburchak ichidagi ixtiyoriy nuqtadan tomonlariga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazilgan. Bu to‘g‘ri chiziqlarning uchburchak ichidagi kesmasi uzunligi ga teng bo‘lsa, ni toping.
Yechish. Bizga uchburchak berilgan bo‘lib, o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqlar tomonni , tomonni , tomonni nuqtalarda kesib o‘tsin.(Chizmaga qarang)
va to‘rtburchaklar parallelogramm bo‘lgani uchun va , bo‘ladi.
∾ , ∾ bo‘lgani sababli
Bundan bo‘ladi, ya’ni .
48(9). Aylanaga ichki chizilgan trapetsiyaning yarim perimetri ga, asoslarining uzunliklari mos ravishda va ga teng. - trapetsiyaning balandligi bo‘lsa, u holda bo‘lishini isbotlang.[9]
Do'stlaringiz bilan baham: |
