O`zbekstan respublikasi xaliq bilimlendiriw ministrligi

3. Ájayıp limitler.
1. limx0 sinxx 1; limx0 sinxx 1.
2.. limn 1 1nn limn 1 1nn limx0 1x1x e 
3. e sanı irracional san bolıp, e2,71828... Tiykarı e ge teń bolg’an logorifmler natural logarifmler dep ataladı hám log_e xln x kórinisinde belgilenedi.
Onlıq logorifm lgxM lnx, bunda M0,43429...
Funkciyanıń úzliksizligi. Kesindide úzliksiz funkciyanıń qásiyetleri.
Quramalı hám keri funkciyalardıń úzliksizligi
Bir argument funkciyasiniń úziliksizligi: aniqlamalari, bir tárepleme úziliksizlik, funkciyalardiń noqatda i hám kesindidegi úziliksizligi. Úzliksiz funkciyalardiń qásiyetleri. Tiykar i elementar funkciyalardiń úziliksizligi. Úzilis noqatlari hám olardiń qásiyetleri.
Meyli y  f x funkciyasi a;b intervalinda aniqlan an bolsin. Qálegen x₀ a;b noqacin alamiz, y₀  f x₀. Qálegen xa;b noqatin alamiz. x  x x₀ mánisi argumenttiń x₀ noqatta i ósimi dep, y  f x₀ xx f x₀ mánisi funkciyaniń x₀ noqatta i ósimi dep ataladi. x hám y ósimleri iymek siziqti boylap háreketleniwshi noqat koordinatalariniń ózgeriwi dep ataladi.
Úziliksiz funkciyaniń aniqlamalari:

1. 
   Eger y  f x funkciyasi x₀ noqatta hám oniń dógereginde aniqlan an hám lim f x f x₀ teńligi orinlansa, onda y  f x funkciya x₀ noqatta úzliksiz
   

xx₀
dep ataladi.

2. 
   Eger y  f x funkciyasi x₀ noqatta hám oniń dógereginde aniqlan an bolip, qálegen  0 ushin sonday  0 bar bolip, x x₀  shártin qanaatlandiratu in qálegen x ushin
   

f x f x₀ 
teńsizligi orinlansa, onda y  f x funkciya x₀ noqatta úziliksiz dep ataladi.

3. 
   Eger y  f x funkciyasi x₀ noqatta hám oniń dógereginde aniqlan an hám argumenttiń sheksiz kishi ósimine funkciyaniń sheksiz kishi ósimi sáykes kelse, ya niy limy  0 bolsa, onda y  f x funkciya x₀ noqatta úziliksiz dep
   

x0 ataladi.

4. 
   Eger y  f x funkciyasi x₀ noqatta hám oniń dógereginde aniqlan an hám argumenttiń sheksiz kishi ósimine funkciyaniń sheksiz kishi ósimi sáykes kelse, ya niy limy 0 bolsa, onda y  f x funkciya x₀ noqatta úziliksiz dep
   

x0 ataladi.

5. 
   Eger y  f x funkciyasi x₀ noqatta shep hám oń jaq shekleri bar jáne olar óz-ara teń bolsa, onda y  f x funkciya x₀ noqatta úziliksiz dep ataladi.
   
6. 
   (Bir tárepleme úzliksizlik).
   

1. 
   Eger y  f x funkciyasi a;x₀ arali inda aniqlan an hám xlimx00 f x f x₀ bolsa, onda y  f x funkciya x₀ noqatta shepten úziliksiz dep
   

ataladi.

2. 
   Eger y  f x funkciyasi x₀;b arali inda aniqlan an hám xlimx00 f x f x₀ bolsa, onda y  f x funkciya x₀ noqatta ońnan úziliksiz dep
   

ataladi.
7. (Kesindide úziliksizlik).

1. 
   Eger y  f x funkciyasi a;b araliqtiń hár bir noqatta úzliksiz bolsa,
   

onda ol usi araliqta úziliksiz funkciya dep ataladi.

2. 
   Eger y  f x funkciyasi a;b kesindisiniń barliq ishki noqatlarinda úzliksiz hám oniń shetki noqatlarinda bir tárepleme úziliksiz bolsa, onda ol usi kesindide úziliksiz funkciya dep ataladi.
   

Noqatta úziliksiz funkciyalardiń tiykar i qásiyetleri:

1. 
   Eger y  f x hám y x funkciyalari x₀ noqacinda úziliksiz bolsa, onda f xx; f xx; x₀ 0 bol anda f x/x funkciyalari da x₀ noqatinda úziliksiz boladi.
   
2.