Rahmonqulova komila muhammadi qizi tub sonlar taqsimoti va aniq formulalar

I BOB. TUB SONLAR TAQSIMOTINI OʻRGANISHNING NAZARIY ASOSLARI


1.1-§. Tub sonlar cheksizligining isbotlari boʻyicha olib borilgan ilmiy tadqiqot ishlari tahlili

Qaysi butun sonlar tub sonlar ekanligini aniqlash mobaynida ularning koʻp ekanligini tezda bilib olish mumkin. Olib borilgan tadqiqotlar va izlanishlar davomida koʻpgina savollarga javoblar topilgan boʻlib, ular bilan quyida tanishib chiqamiz. Ularning soni cheksiz koʻpmi? Koʻrinib turibilgani, tub sonlar musbat butun sonlarning kamayib borayotgan qismini tashkil qiladi. Buni tushuntira olamizmi? Berilgan nuqtagacha nechta tub son borligini formulasini keltira olamizmi? Yoki hech boʻlmaganda yaxshi baho berishimiz lozim boʻladi.

Biz tub sonlarni yozganimizda, biror qonuniyat mavjud boʻlib tuyuladi, ammo bu kamdan-kam hollarda uzoq davom etadi. Biz davom etadigan qonuniyatni topa olamizmi? Barcha tub sonlarni tavsiflovchi formula bormi? Yoki hech boʻlmaganda ulardan ba’zilarini? Tub sonlarni tez va oson tanib olish mumkinmi? Bu savollarga javoblar bilan ushbu bobda tanishib chiqamiz.
Endi tub sonlar cheksizligining isbotlarini koʻramiz. Ma’lum boʻlgan birinchi isbot Evklidning elementlari, IX kitob, 20-topshiriqda keltirilgan:
1.1-teorema. Cheksiz koʻp tub sonlar mavjud.
Isboti. Faraz qilaylik, juda koʻp cheklita tub sonlar mavjud boʻlsin va biz ularni bilan belgilaylik. ning tub boʻluvchilari qanday? Bu son > 1 boʻlgani uchun Arifmetikaning asosiy teoremasiga koʻra, tub boʻluvchiga ega boʻladi va bu biror j, 1 ≤ j ≤ k uchun boʻlsin, chunki barcha tub sonlar orasida joylashgan. Lekin u holda har ikkala va ni boʻladi, demak, ularning farqi 1 ni ham boʻlishi kerak, bu esa mumkin emas.
Evklidning isboti boʻyicha koʻplab variantlar mavjud. Masalan:
Aytaylik, cheklita koʻp tub sonlar mavjud, ularning eng kattasi
. ning tub boʻluvchilarini hisoblash orqali ham buning iloji yoʻqligini koʻrsatish mumkin.
Evklid isbotidagi asosiy gʻoya tub sonlar roʻyxati berilgan boʻlsa, ga oʻzaro tub boʻlgan butun sonni topish va shuning uchun uning tub boʻluvchilari bu roʻyxatda emas. Evklid ni oldi, lekin u q ni deb yoki har qanday butun son uchun
qabul qilishi mumkin edi.
Biz tub sonlar qatorini istalgan ikkita toʻplamga, ga ajratishimiz mumkin va ni olaylik, bu yerda .
ni olish mumkin, agar bu 1 boʻlmasa. Yana biri ikki yigʻindidan koʻproq boʻlishi mumkin: agar = va boʻlsa. Endi ni boʻladi, agar boʻlsa, shuning uchun ham .
2017-yilda Mestrovich ajoyib yangi isbot keltirdi: Faraz qilaylik, chekli toq tub sonlar toʻplamining koʻpaytmasi boʻlsin, bu yerda . Endi toq, lekin toq tub songa boʻlinmaydi (aks holda u, orasidagi farq, 2 ga boʻlinardi) va shuning uchun ; ya’ni , bu yerda qarama-qarshilik yuzaga keladi.