Rahmonqulova komila muhammadi qizi tub sonlar taqsimoti va aniq formulalar

Furstenbergning (nuqta-toʻplam) topologik isboti
Evklid gʻoyasini taqdim etishning eng oqlangan usullaridan biri Furstenbergning nuqta-toʻplam topologiyasining asosiy tushunchalaridan foydalangan holda gʻayritabiiy isbotidir:
ning qism toʻplami boʻlgan

agar u boʻsh boʻlsa yoki agar har bir uchun arifmetik progressiyani tashkil qilsa, ochiq toʻplamdagi butun sonlar toʻplami topologiyasini aniqlash kerak boʻladi. Shubhasiz, har bir ochiq va u shuningdek mana shuning uchun

yopiq.
Agar cheklita koʻp tub sonlar mavjud boʻlsa, u holda ham yopiq, shuning uchun ochiq, lekin bu notoʻgʻri, chunki chekli va shuning uchun hech qanday arifmetik progressiyani oʻz ichiga olmaydi, chunki u cheksiz koʻp sonlarni oʻz ichiga oladi. Bu qarama-qarshilik cheksiz koʻp tub sonlar mavjudligini anglatadi.
Analitik isbot
Biz tub boʻluvchilari faqat berilgan tub sonlar toʻplamidan kelgan gacha boʻlgan musbat sonlarni hisoblaymiz. Bu butun sonlarning barchasi har biri boʻlgan baʼzi butun sonlar uchun quyidagi koʻrinishni oladi:
.
Biz ixtiyoriy butun son uchun gacha boʻlgan butun sonlarni sanab oʻtamiz: Har bir uchun, tub va boshqa har bir , shunday qilib,
.
Bu koʻpi bilan ekanligini bildiradi va shuning uchun butun soni uchun, 0 dan gacha boʻlgan butun sonlar koʻpi bilan m ehtimollikka ega. Shuning uchun koʻrinishdagi butun sonlar soni, , hisoblanadi

Endi agar (2, 3, 5, 7, 11 ni oʻz ichiga oladi, demak ) barcha tub sonlar toʻplami boʻlsa, u holda har bir musbat butun son koʻrinishga ega va shuning uchun oxirgi tenglamada barcha butun sonlar uchun
nazarda tutiladi. Biz ni tanlaymiz, shuning uchun , boʻlgani uchun bu notoʻgʻri. Biz bundan tub sonlar chekli boʻlolmasligini xulosa qilamiz.