Rahmonqulova komila muhammadi qizi tub sonlar taqsimoti va aniq formulalar

(1.3) dagi yigʻindi uchun aniq baho. tub sonlari boʻyicha yigʻindisini baholash foydalidir. Buni (isbotlash qiyin) tub sonlar teoremasi yordamida amalga oshirish mumkin, lekin oddiyroq usullardan quyidagi yaxshi bahoni ham olish mumkin ([8] ning 4-bobiga qarang): doimiysi mavjud boʻlib, quyidagiga teng:

va uning yaqinlashuvidagi birinchi had oʻrtasidagi farq, , ga teng boʻlgan musbat hadlar yigʻindisi.
Shunday qilib, farq kabi chegaraga yaqinlashadi. Koʻrsatkichga koʻra shunday doimiy ning mavjudligini xulosa qilamiz, demak

bu yerda (1.2) boʻyicha aniq yaxshilanish.

(1.4) dan yana foydalanib Eratosfen gʻalviridagi ([7], (5.2)) qadamlar sonini xulosa qilish mumkin, ya’ni

biror oʻzgarmas uchun , biror bir yetarli darajada katta, bu yerda eng katta tub son
(1.1) ning boshqa hosilasi. Ulardan biri boʻlgan barcha butun sonlar boʻyicha yigʻindisi, ya’ni bilan boshlanadi. Endi biz bu yig’indidan juft butun sonlarni olib tashlamoqchimiz deylik. Bu yig’indiga ularning ulushi

hatto ni deb yozish va demak

Agar biz 3 ning karralarini olib tashlamoqchi boʻlsak, olish uchun xuddi shunday davom etishimiz mumkin

va ixtiyoriy uchun, p boʻlsin,

da, chap tomon hech qanday tub boʻluvchilarga ega boʻlmagan barcha butun sonlarning yigʻindisiga aylanadi: Bunday butun son boʻladi, shuning uchun chap tomon boʻladi. Demak,

(1.1) ning muqobil formulasi.
Bu isbotning afzalligi shundaki, biz turli tub sonlar orqali “gʻalvirdan oʻtkazganimizda”, ya’ni toʻplamimizdan berilgan tub sonlarga boʻlinadigan butun sonlarni olib tashlaganimizda nima sodir boʻlishini koʻramiz.


1.2-§. Muayyan arifmetik progressiyalardagi tub sonlar

Arifmetik progressiyalar 3 moduli bo’yicha tub sonlarga qanday boʻlinadi? Yoki 4 modul boʻyichachi? Yoki har qanday berilgan butun son moduli boʻyichachi? Koʻrinib turibilgani, arifmetik progressiyadagi har bir butun son (ya’ni koʻrinishdagi butun sonlar) 3 ga boʻlinadi, shuning uchun bu arifmetik progressiyadagi yagona tub sonning oʻzi 3 ga teng. va arifmetik progressiyalar uchun bunday boʻlinish cheklovlari yoʻq va agar biz 100 ga qadar tub sonlarni ushbu arifmetik progressiyalarga ajratsak, biz quyidagilarni topamiz:

Tub sonlar ≡ ):7,13,19,31,37,43,61,67,73,79,97,....
Tub sonlar ≡ :2,5,11,17,23,29,41,47,53,59,71,83,89,....
Har bir arifmetik progressiyada juda koʻp tub sonlar borga oʻxshaydi va ular ikkalasi oʻrtasida taxminan teng taqsimlanganga oʻxshaydi. Keling, nimani isbotlashimiz mumkinligini koʻrib chiqaylik. Birinchidan, keling, umuman olganda, holga oʻxshashlik bilan shugʻullanamiz. Bunga nafaqat
, balki kabi holatlar ham kiradi.
Demak hammasi, lekin chekli koʻp tub sonlar arifmetik progressiyalar bilan orasida taqsimlanadi. Ular qanday taqsimlanadi? Agar holat boʻlsa, har bir bunday arifmetik progressiyada cheksiz koʻp boʻlib koʻrinadi va hatto har birida biron bir nuqtaga qadar taxminan tub sonlar teng boʻlishi mumkin.
Biz 3 modul boʻyicha ikkita mumkin boʻlgan qoldiq sinflarining har birida cheksiz koʻp tub sonlar mavjudligini isbotlaymiz .