Rahmonqulova komila muhammadi qizi tub sonlar taqsimoti va aniq formulalar

Eratosfen gʻalviri va x gacha boʻlgan tub sonlar uchun baholar

ixtiyoriy kichik musbat doimiyni belgilang. (1.2) ga binoan biz shunday mavjudligini bilamiz

tub sonlarning koʻpaytmasi boʻlsin va yetarli darajada katta ni tanlaylik, bunda yetarlicha katta. Tub sonlarning koʻpaytmasi
ga biror tub koʻpaytma boʻlishi kerak, demak,

Shubhasiz . Keling boʻlsin, u holda, va shuning uchun deb yozamiz,

Biz shuni xulosa qilamizki,

Bu har qanday uchun mos boʻlganligi sababli, biz quyidagini keltirib chiqaramiz

ya’ni butun sonlarning nolga intilayotgan qismi tub sonlardir.
1808 yilda Legendre gacha boʻlgan tub sonlar miqdorini aniqlab, taxminan ga teng degan taklifni berdi.
Bir necha yil oldin, 15 yoki 16 yoshda Gauss tub sonlar jadvallarini oʻrganish asosida ancha yaxshi taxmin qilgan edi:


1792 yoki 1793 yillarda … men e’tiborimni tub sonlar kamayish chastotasiga qaratdim. . . 1000 uzunlik oraligʻida tub sonlarni sanab. Men tez orada barcha tebranishlar ortida bu chastota logarifmga oʻrtacha teskari proportsional ekanligini angladim. . . .
- K. F. Gaussning Enkega yozgan maktubidan (Rojdestvo arafasi, 1849).

Uning kuzatuvi eng yaxshi tarzda ifodalanishi mumkin ga yaqin butun sonlarning da taxminan 1 tasi tub, bu Legendrening ta’kidlashidan (bilinar-bilinmas) farq qiladi: Gaussning kuzatishi shuni koʻrsatailgani, gacha boʻlgan tub sonlar soniga deyarli yaqin son . va orasida

uchun unchalik katta farq qilmaganligi uchun, Gauss

ga deyarli teng degan xulosaga keldi. Bu miqdorni bilan belgilaymiz va uni logarifmik integral deb ataymiz. Bu yerdagi logarifm yana natural logarifmdir. Gaussning bashoratini ning turli qiymatlarigacha boʻlgan tub sonlarning haqiqiy soni bilan solishtirish:

x	π(x)=#{tub sonlar≤x}	Farq:Li(x)−π(x)
10^3	168	10
10^4	1229	17
10^5	9592	38
10^6	78498	130
10^7	664579	339
10^8	5761455	754
10^9	50847534	1701
1010	455052511	3104
1011	4118054813	11588
1012	37607912018	38263
1013	346065536839	108971
1014	3204941750802	314890
1015	29844570422669	1052619
1016	279238341033925	3214632
1017	2623557157654233	7956589
1018	24739954287740860	21949555
1019	234057667276344607	99877775
1020	2220819602560918840	222744644
1021	21127269486018731928	597394254
1022	201467286689315906290	1932355208
1023	1925320391606803968923	7250186216
1024	18435599767349200867866	17146907278
1025	176846309399143769411680	55160980939

x gacha boʻlgan tub sonlar va Gauss bashoratidagi farqni hisoblash

Gaussning bashorati hayratlanarli darajada aniq. Ma’lumotlarga koʻra, Gaussning bashorati barcha [8] uchun kichik miqdorga oshib ketganga oʻxshaydi. Ushbu «kichik qiymat» ni miqdoriy aniqlashda biz oxirgi ustun (farqni hisoblashni ifodalovchi) har doim taxminan markaziy ustun ( gacha boʻlgan tub sonlar sonini ifodalovchi) kengligining yarmini tashkil etishini kuzatamiz, shuning uchun bu ma’lumotlar farq ning kichik karralisidan katta emasligini koʻrsatadi. Bu optimistik boʻlishi mumkin, lekin, hech boʻlmaganda, gacha boʻlgan tub sonlar soni ning nisbati , Gauss taxminiga koʻra, da 1 ga intilishi kerak,

da ekanligini koʻrsatamiz va oxirgi ikkita limitlarni birlashtirib, biz quyidagini xulosa qilamiz:

Limitlarni belgilash juda qiyin, yozish osonroq

“ ga asimptotikdir” [9]. Bu Eratosfen gʻalviriga asoslangan bizning taxminimiz (1.5) dan multiplikativ konstanta bilan farq qiladi. Bizning maʼlumotlar (1.5) da berilgan oʻrniga bu yerda berilgan
1 konstanta toʻgʻri konstanta ekanligini yaqqol koʻrsatadi.
Asimptotik (1.8) tub sonlar teoremasi deb ataladi. Uning isboti Gaussning taxminidan 100 yil oʻtib, bir nechta ajoyib oʻzgarishlarni oʻz ichiga olib, 1896- yilda keldi. Bu XIX asr matematikasining eng yuqori nuqtasi edi va hali ham toʻgʻridan-toʻgʻri yondashuv mavjud emas. Buning asosiy sababi shundaki, tub sonlar teoremasi bir qarashda mantiqsiz tuyuladigan funktsiyaning analitik davomi nollari haqidagi bayonotga (Riman zeta-funksiyasi) ekvivalentligini koʻrsatadi. Garchi isbotlarda bu nollarni eslatishdan chetlangan boʻlsa-da, ular hali ham koʻzga tashlanmayapti.