Rahmonqulova komila muhammadi qizi tub sonlar taqsimoti va aniq formulalar

2.1-teorema. boʻlgan barcha butun sonlar uchun quyidagi qoʻshtengsizliklar oʻrinli

Isboti. Binomial teorema

tenglikni ifodalaydi. deb olib, ga ega boʻlamiz.
2.1-lemma. Barcha lar uchun gacha boʻlgan tub sonlar koʻpaytmasi dan kichik yoki teng.
Isboti. dagi har bitta tub son binomial koeffitsiyentning maxrajida emas, suratida koʻrinadi va shuning uchun ularning koʻpaytmasi ni ajratadi. Endi agar toq boʻlsa, u holda boʻlgani uchun

tenglikdagi yigʻindida qiymat ikki marta koʻrinadi. Shuning uchun

Induksiya metodi orqali 1- koʻpaytma , 2-si oldingi paragrafga koʻra . Bu ikki yuqori chegaralarni birlashtirish, talab qilinganidek, yuqori chegarani beradi. Agar biz (*) da logarifmlarni olsak, biz

tengsizlikka ega boʻlamiz.
Chap tomondagi har bitta had boʻlganligi sababli, biz quyidagini xulosa qilamiz:
.
Endi biz bundan koʻrsatilgan yuqori chegarani chiqarishda foydalanamiz. Biz barcha lar uchun hisoblashlar orqali chegarani tekshiramiz va keyin uchun induksiya orqali davom ettiramiz. Agar yoki (bu yerda ), u holda induksiya gipotezasiga koʻra,


,

va barcha uchun bu

puxta hisob-kitob natijasida yuqoridagi tengsizlikka ega boʻlamiz. Bu yuqoridagi teoremada koʻrsatilgan yuqori chegarani beradi.

Tub sonlar orasidagi boʻshliqlar.

Keling lar tub sonlar ketma-ketligi boʻlsin. Bizni mumkin boʻlgan, , tub sonlar orasidagi boʻshliqlar qiziqtiradi.

Tub sonlar teoremasi gacha boʻlgan tub sonlar taxminan ga teng ekanligini aytadi, shuning uchun ham tub sonlar orasidagi oʻrtacha boʻshliq taxminan ga teng: agar boʻlsa, u holda boʻlgan eng katta tub son boʻladi va . Bu esa gacha boʻlgan tub sonlar ketma-ketligi orasidagi oʻrtacha boʻshliq tub sonlar teoremasiga koʻra quyidagiga teng ekanligini bildiradi:

Oʻrtacha qiymatdan ancha kichik boʻlgan ketma-ket tub sonlar orasida boʻshliqlar bormi? Oʻrtachadan ancha kattarogʻichi? Tub sonlar orasidagi boʻshliqlarning eng kattasi qanday boʻlishi mumkin va eng kichigichi?
Legendre har doim ketma-ket kvadratlar orasida tub sonlar borligini, ya’ni har bir butun soni uchun oraliqda tub sonlar borligini taxmin qildi.
Tub sonlarni oʻz ichiga olmaydigan uzoq oraliq qurishning oddiy usuli mavjud:
2.1-tasdiq. Har qanday butun soni uchun interval tub sonlarni oʻz ichiga olmaydi. Shuning uchun agar eng katta tub son boʻlsa, u holda boʻladi.