С. Э. Фриш ва а. В. Тиморева

AN = Y i E n A S . 
(3)
Йигинди биз булаклагаш S сиртнинг барча элементлари буй­
лаб олинади.
A S  сирт эЛвментларини чексиз кичик килиб олиш керак. Бунда сирт 
элементини d S  б^Ьцн белгилаб, кучланганликнинг элем ентар оцими d N  учун
d N = E n d S
ифодани цосил циламиз.
5
сиртдан утувчи N  кучланганлик синими чексиз куп шундай элем ентар
оь;имларнинг йигиндиси, яъни цуйидаги интеграл билан ифодаланади:
N  =
J 
Е п dS, 
(За)
6’
бунда 5 белги интеграл текш ирилаётган бутун 5 сирт буйлаб олинишини 
курсатади.

---

Майдонининг кучланганлиги масофанинг квадратига теска­
ри пропорционал узгарадиган (124- §) нуцтавий заряд q дан 
цанча кучланганлик чизиги чицишини аницлайлик. q нуцтавий 
заряд сферик симметрияли майдон досил цилганлиги туфайли 
кучланганлик чизицлари 125- § да курсатилганидек, скмметрик 
жойлашган радиал чизицлардан иборат 
булади (21- раем). Уларнинг умумий со- 
нини N  билан белгилаймиз. Фикран мар- 
казн 
<7
зарядда булган ихтиёрий г ра- 
диусли сферик сирт чизамиз. Кабул 
цилинган шартга мувофиц, узларига тик 
булган юза бирлигини кесиб утувчи куч­
ланганлик чизикларининг сони сирт нуц-
таларидаги кучланганлик цнйматларига 
2 1 - раем. О строград ский — 
тенгдир. Утказилган сферик сирт радиал 
Гаусс теоремасини 
кучланганлик чизицларига перйендику- 
чицаришга дойр, 
лярдир. Бу чизикларнинг умумий сони
айтганимизга кура N га тенг, демак, сирт бирлигидан уларнинг 
-^Гр1 таси утади. (
1
) шартга мувофиц бу катталик сон жидатдан 
q заряддан г масофадаги кучланганликка тенгдир, яъни
_ N _____ q_
4nr2 ~~ r~
бундан
N  = 4 vq. 
(4)
Шундай цилиб, ха р бир нуцт авий q заряддан 4nq та сим- 
мет рик ж ойлаш ган к уч ла н га н л и к чизицлари чицариш к е­
рак экан.
Шу цоидани умумлаштириш йули билан Остроградский — 
Гаусс теоремаси чицарилади, бу теорема берк сиртдан утув­
чи кучланганлик оцимн билан шу сирт ичидаги зарядларнинг 
катталиги орасидаги умумий богланишни ифодалайди. Бу тео­
рема жуда куп хусусий долларда чекли ёки чексиз катта ул- 
чамли жисмлардаги зарядлар вужудга келтирадиган кучлан­
ганлик векторларини топишни осонлаштиради.
Остроградский —Гаусс теоремаси куйидагичатаърифланади: 
зарядларни уз ичига олган -\ар цандай берк сиртдан утувчи 
к у ч л а н га н л и к оцими у р а б олинган зарядлар алгебраик йигин- 
дисининг 4тг га купайт м асига тенгдир.
Бу цоидани исбот цилишда берк сирт учун сирт элементи- 
га утказилган нормаль шу сирт билан чегараланган дажмдан 
чицувчи булса (
2 2
- раем), унинг бу йуналишини мусбат деб 
шартлашиб оламиз. У долда шу сирт 
билан чегараланган 
дажмдан чицувчи кучланганлик чизицлари мусбат оцим; дажм-

---

га кирувчи кучланганлик чизиклари манфий 
оким вужудга 
келтиради.
Нормалнинг ишораси учун бу шартни кабул килиб, авва- 
ло Остроградский— Гаусс теоремасининг битта нуктавий заряд 
учун тутрилигини курсатамиз. q нуцтавий зарядни, уни мусбат 
деб олиб, ихтиёрий S берк сирт билан (23- раем) ураймиз. Исбот
цилинганига кура заряддан \n q  кучланганлик чизиги чикара- 
миз. Бу чизицларнинг дар бири S сиртни А  ва В чизиклар каби 
бир марта ёки, масалан, сиртни уч марта кесиб утган с  чи- 
зик каби, ток; сон марта кесиб утади. Лекин С чизик S сирт­
дан икки марта чицади ва бир марта унга киради; окимнинг 
ишораларн учун ка^ул килинган шартга кура, чикиш жойла- 
рида у мусбат оким, кириш жойида эса манфий оким досил 
Килади; шундай килиб, S  берк сиртдан утувчи кучланганлик 
окимини дисоблаш учун С кучланганлик чизигини бир марта 
санаш керак. )^ар цандай бошца кучланганлик чизиги билан 
дам худди шундай иш куриш зарур. Натижада биз q нуцтавий 
зарядни ураб турган ихтиёрий шаклдаги берк сиртни кесиб 
утувчи кучланганлик чизицларининг умумий сони q нуцтавий 
заряддан чицувчи чизицлар'сонига, яъни 4nq га тенг були- 
шини курамиз. Таъриф буйича, кучланганлик чизицларининг 
бу умумий сони N  берк S  сиртдан утувчи кучланганлик оци- 
мини ифодалайди.
Шундай цилиб, Остроградский — Гаусс теоремасининг бит­
та нуктавий заряд учун дам тугрилиги исбот килинди.
Берк сирт ичида ихтиёрий k сондаги qu q2, ... , qk заряд 
булган умумий дол учун улардан qt билан белгиланган бит- 
таси вужудга келтирган кучланганлик окимини дисоблайлик. 
Айтилганларга кура, бу заряд вужудга келтирган оким N t — 
= 4тг^(.; бунда оцим ишораси заряд ишораси билан бир хил 
булади.