С. Э. Фриш ва а. В. Тиморева

1 28-§. Остроградский — Гаусс теоремасининг татбицлари.
Хар цандай зарядни чексиз куп сонли чексиз нуцтавий заряд­
лар йигиндиси деб дисоблаш мумкин булгани учун Остро­
градский — Гаусс теоремасини дар цандай. шаклдаги ва улчам- 
даги зарядларга татбиц цилиш мумкин. Шунинг учун дам бу 
теорема жуда куп ишлатилади.
Остроградский — Гаусс теорема­
сининг татбиц цилинишини куриб 
чицишдан аввал зарядларнинг даж- 
мий ва сиртий зичликлари тушун- 
часини 
киритамиз.
Куп масалаларда зарядлар би­
рор дажмда тацсимланган деб бери- 
лади; бундай масалаларда зарядлар 
тацсимотининг дажмий зичлигини 
киритиш мудим. Бирор AV дажмда 
Aq заряд бор, дейлик. У долда
<»
нисбат билан аницланувчи физик 
катталик заряднинг уРтача Х^ж- 
мий зичлиги дейилади.
Бирор нуцтадаги р зичлик AV дажмни нолгача кичрайтир- 
ганда (
1
) нисбат интиладиган лимитга тенг булади:
25- раем. Б ерк сиртдан ташца- 
рида турган заряддан чикувчи 
оцимни аницлашга дойр.
= lim (xvr)'
AV=o'bVj
(l a)
Баъзи долларда зарядлар жисм сиртида жойлашади ва шу 
билан бирга, зарядлар цатламининг цалинлигини дисобга ол- 
маса булади. Бундай долларда биз зарядларнинг сиртий зич- 
ли ги  тушунчасини киритамиз. Айтайлик, бирор AS сиртга Aq 
заряд тугри ке^син, бунда заряднинг уртача сиртий зичлиги о 
цуйидаги
— A S
(
2
)
нисбат билан аницланади.
Бирор нуцтадаги а сиртий зичлик AS сиртни нолгача кичрай- 
тирганда (
2
) нисбат интиладиган лимитга тенг булади:
0 = Iim ( i f ) '
AS -fO 
'
(
2
a)
Энди Остроградский — Гаусс теоремаси ёрдамида бир цатор 
доллар учун майдон кучланганлигини топамиз.

---

1. 
Т е к и с з а р я д л а н г а н ч е к с и з т е к н с л н к м а й д о ­
н и н и н г к у ч л а н г а н л и г и . Барча нуцталари бир хил дои­
мий + а зичлик билан зарядланган чексиз текислик вужудга 
келтирган электростатик майдонни куриб чицайлик. Симметрия 
мулодазаларига кура кучланганлик чизицлари текисликка пер­
пендикуляр ва ундан ташцарига йуналган деб дисоблаймиз. 
Бунга ишонч досил цилиш учун тескари мулодаза юритайлик,
яъни кучланганлик чизицлари текислик­
ка утказилган перпендикуляр билан би­
рор бурчак досил цилиб йуналган, дей- 
лик. Агар кучланганлик чизицлари 26- 
расмда пунктир билан тасвирлангандек 
йуналганда эди, унда мусбат зарядлар 
юцори ярим текисликдан пастки ярим 
текисликка нисбатан кучлироц итарилган 
булар эди, бу эса текисликнинг чексиз- 
лиги ва ундаги зарядлар сиртий зичлиги- 
нинг доимийлиги дацидаги фаразимизга 
зиддир. Худди шу каби мулодазалар 
билан кучланганлик чизицлари боища 
деч цандай йуналиш буйлаб эмас, фацат сиртга утказилган нор­
маль буйлабгина йунала олишини курсатиш мумкин. Текислик­
нинг унг томонида ётган А нуцтани олайлик. Бу нуцтада 
кучланганлик унгга йуналган; шундай эканлиги кучланганлик­
нинг мусбат зарядланган текисликдан ит арилаёт ган бирлик 
мусбат зарядга таъсир этувчи кучга тенглигидан келиб чи­
цади. Текисликнинг чап томонида А нуцтага симметрик жой­
лашган В нукта учун дам кщоридаги 
мулодазаларни такрорлаб В нуцтадаги 
Е кучланганлик А нуцтадаги кучдан- 
ганликка нисбатан царама-царши то­
монга йуналганлигига ишонч досил 
циламиз. Демак, кучланганлик чизиц- 
лари, текисликдан чицувчи ва текис­
ликка тик йуналган тугри чизицлардан 
иборат экан.
Остроградский — Гаусс теоремаси­
ни татбиц цилиб, А нуцтадаги кучлан­
ганлик катталигини аницлаймиз. Берк 
сирт сифатида цуйидагича ясалган 
цилиндрик сиртни (27- раем) олайлик: 
зарядланган текисликнинг 5 булаги цилиндрнинг урта кесими 
булсин; цилиндрнинг ён сиртини кучланганлик чизицларига 
параллел цилиб утказамиз. Цилиндрнинг 
ва 5
2
иккала асо- 
сини текисликка параллел цилиб тегишли А ва В нуцталардан
27- раем. Чек сиз текислик­
нинг майдон кучланганли- 
гини дисоблашга дойр.
26- раем. Чексиз текис­
ликнинг майдон кучлан­
ганлик чизиклари.

---

утказамиз. У долда симметрия мулодазаларига кура, S] ва S 2 
асосларнинг дар бирининг барча нуцталарида кучланганликлар 
доимий, сон цийматлари жидатидан узаро тенг ва А нуцтада 
изланаётган Е кучланганликка тенг дейиш мумкин. Текшири- 
лаётган цилиндрик сиртдан утувчи кучланганлик окимини ди- 
соблайлик. Кучланганлик чизицлари ён сиртга параллел бул- 
гани учун ён сиртдан утувчи оцим нолга тенг. Демак, тула 
оцим N цилиндрнинг Si ва S 2 асосларидан утувчи A'i ва N 2 
оцимлар йигиндисига тенг. Бу иккала оцим дам мусбат, 
ва 
S 2 сиртлар кучланганлик чизицларига перпендикуляр булгани 
учун бу сиртлардан утувчи оцимлар кучланганлик катталигини 
асос юзига купайтириб топилади. Шундай цилиб, цуйидагича 
ёзиш мумкин: