С. Э. Фриш ва а. В. Тиморева

г > R булганда Е = у 2
(
5
)
яъни бир текис за рядланган сферик cuptn шу сферадан таш- 
царида вуж удга келт ирган к у ч ла н га н л и к худди бутун заряд 
сферанинг марказида ж ойлаш гандагидек булади.
Сферик сиртнинг ичидаги нуцталарни куришга утамиз. Сфе­
ра марказидан г ' < R масофада жойлашган В нуцтани оламиз 
ва бу нуцтадан маркази зарядланган сфера марказида ётган S ' 
сферик сирт утказамиз (29- раем). Бу сиртнинг барча нуцтала- 
рида кучланганлик сон жидатдан бирдай булиши равшандир. 
Юцорида айтганимиздек, симметрия мулодазаларидан кучлан­
ганликнинг (агар у нолдан фарцли булса) йуналиши фацат 
радиал ва, демак, S ' сферик сиртга перпендикуляр булади.
S ' сферик сиртга Остроградский — Гаусс теоремасини тат­
биц цилиб цуйидагини топамиз:
Демак, т екис зарядланган сферик сирт ичидаги барча 
нуцт аларда элект рост ат ик майдон кучланганлиги нолга 
тенгдир.
(5) ва (
6
) формулалар q заряд билан зарядланган ут казув- 
чан шар учуй дам тугри эканлигини курсатиш мумкин (132- § 
билан таццоеланг).
4. 
Т е к и с з а р я д л а н г а н с ф е р а д о с и л ц и л г а н м а й ­
д о н н и н г к у ч л а н г а н л и г и . Радиуси R га тенг сфера ола­
миз. Унинг q умумий мусбат заряди сфера дажмида доимий
зичлик билан тацеимланган булсин. Зарядланган сферадан 
ташцарида сфера марказидан г > R  масофадаги ихтиёрий А 
нуцтада (29- раем) майдон кучланганлиги сферик сирт вужуд­
га келтирган кучланганлик каби цуйидагича ифодаланади:
Симметрия мулодазалари ва дисоблашлар аввалгидек булгани 
учун бу кучланганлик дам радиуснинг давоми буйлаб йунал­
ган булади. Шундай цилиб, текис зарядланган сферанинг 
узидан т ашкаридаги нуцт аларда вужудга келт ирган куч-
3
С. Э. Фриш, А. В. Т им оре ва
Е -\ъ гп
=> О,
чунки S ' сирт ичида заряд нолга тенгдир; бундан 
г ' <. R булганда Е  — 0.
(6)

---

л а н га н ли ги худди унинг барка заряди марказига мужассам- 
лаш ганда вуж удга келт ирадиган кукланга н лиги сингари бу­
лади.
Зарядланган сферанинг икида сфера марказидан г' < R ма­
софада ётган В нуцтадаги кучланганликни аницлаймиз. Бу дол­
да дам симметрия шартлари юцоридагидек булади. Бундан 
маркази зарядланган сфера марказида булган г' радиусли сфе­
рик сиртнинг барча нуцталарида кучланганлик сон жидатдан 
бир хил ва шу билан бирга дар бир нуцтада радиал йуналган 
эканлиги келиб чицади. г' радиусли сирт ичидаги заряднинг 
ифодаси
булгани учун
Остроградский — Гаусс теоремасини г ’ радиусли 
сферик 
сиртга татбиц цилсак, цуйидагини досил циламиз:
(7) формулага мувофиц, текис зарядланган сфера икида- 
ги к у к ла н га н ли к сфера марказигака булган масофага про­
порционал равиш да ортади. Бунга сабаб шуки, кучланганлик­
ни умумий заряднинг марказдан кучланганлик дисобланаётган 
нуцтагача масофада булган цисми вужудга келтиради. Демак, 
нуцта марказдан цанча узоцда олинса, бу нуцтадаги кучлан­
ганлик шунча купроц заряд томонидан вужудга келтирилган 
булади.
30- а раемда сиртий зарядланган сферанинг, 3 0 - б раемда 
дажмий зарядланган сферанинг вужудга келтирган кучланган- 
ликларининг графиклари курсатилган.
5. 
Т е к и с з а р я д л а н г а н ч е к с и з ц и л и н д р и к с и р т
в у ж у д г а к е л т и р г а н м а й д о н к у ч л а н г а н л и г и . R ра­
диусли цилиндрик сирт оламиз. Б у сирт доимий -f о сиртий зич-
булади.
N — Е -4тгг
' 2
= \~ q ' = 4тс^з q,
бундан
(
7
)

---

лик билан зарядланган. Цилиндр уцидан г > R масофада ётган 
А нуцтадаги кучланганликни аницлаймиз (31- раем). Масала- 
даги симметрия мулодазаларига кура, А нуцтадаги кучланган­
лик г радиус-вектор давоми буйлаб йуналиши керак деб ху- 
лоса чицариш мумкин. Уци зарядланган цилиндр уци билан 
устма-уст тушган ва А нуцтадан утказилган цилиндрик сиртга
а)
3 0 -
р а е м ,
а — сиртий зарядланган сферанинг, б  — дажмий заря длан ­
ган сферанинг майдон кучланганлиги.
Остроградский — Гаусс теоремасини татбиц циламиз. Бу сирт- 
нинг юцори ва пастки асослари бир-биридан I масофада жой­
лашган ва уцца перпендикулярдир. Цилиндрик сиртдан утган 
тула оцим фацат ён сиртлардан утган оцимлар билан ифодала- 
нади, чунки кучланганлик асосларга параллел булгани учун 
асослардан утувчи оцим нолга тенг булади.
Кучланганлик чизицлари цилиндрнинг ён 
сиртларига перпендикуляр булгани учун 
N тула оцим Е  кучланганлик цийматининг 
ён сирт катталиги 
2
иг/ га купайтирилгани- 
га тенг булади:
N — 
2 я г /
• Е. 
( 8 )
Остроградский — Гаусс теоремасига асо­
сан N оцим сон жидатдан оцим дисобла- 
наётган сирт ичидаги зарядни 4тг га ку- 
пайтирилганига тенг; сирт ичидаги q заряд 
цилиндрнинг I узунлигига тугри келадиган 
зарядга тенгдир:
q  = а - 2т
:Rl,
демак, Остроградский — Гаусс теоремасига асосан:
N = 4тг<7 = 4тоз • 2-RI.
N учун досил цилинган бу ифодани (
8
) ифода билан таццое- 
ласак, цуйидаги келиб чицади:
а*
—
>
к
>ч
V
31- раем. Зарядланган 
цилиндрнинг майдон 
кучланганлигини 
аницлашга дойр.

---

2
k
R катталик сон жидатдан цилиндр ён сиртининг цилиндр 
узунлик бирлигига тугри келган юзига тенг булгани учун 
т) =
2
izRa катталик цилиндр узунлик бирлигига тугри келган 
зарядни ифодалайди. Бундан (9) формулами куйидаги кури­
нишда дам ёзиш мумкин:
Е = 2
Л  
(13а)
М айдон куч ла н га н ли ги цилиндр уцигача булган масофага 
тескари пропорционал камаяди. Худди шундай йул билан 
текис зарядланган цилиндрик сирт ичида майдон куч ла нга н ­
л и ги нолга тенг эканлигини осон курсатиш мумкин.
Куриб чицилган мисоллар майдон симметрик булганда ва 
симметрия мулодазаларига кура кучланганлик чизикларининг 
йуналишини аввалдан курсатиш мумкин 
булган долларда 
Остроградский — Гаусс теоремасидан фойдаланиб электроста­
тик майдонни дисоблаш мумкин эканини курсатади.