Sonli qatorlar mavzu. Sonli qatorlar va ularningning yaqinlashishi. Absolyut va shartli yaqinlashish Reja

Leybnis alomati. Ushbu
(11.23)
qatorni qaraymiz, bunda
Odatda bunday qator hadlarining ishoralari navbat bilan o’zgarib keladigan qator deyiladi.
(11.23) qator ixtiyoriy hadli qatorning bitta holidir.
Masalan,

qator hadlarining ishoralari navbat bilan o’zgarib keladigan qatordir.
7-teorema (Leybnits alomati). Agar hadlarining ishoralari navbat bilan o’zgarib keladigan (11.23) qatorda:
1)
2)
bo’lsa, u holda (11.23) qator yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isbot. (11.23) qatorning qismiy yig`indilari bo`lsin. Teoremaning 1) shartiga ko`ra bo`lib, ketma-ketlik o`suvchi bo`ladi, bundan tashqari uchun bo`lganligidan bo`lib, 1) shartdan ketma-ketlik kamayuvchi bo`ladi. U holda monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremaga ko`ra chekli limit mavjud bo`lib, teorema 2) shartiga asosan navjud va qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
17-misol. (11.24)
qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Berilgan qatorning hadlari yuqorida keltirilgan teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi. 11.7-teoremaga ko’ra (11.24) qator yaqinlashuvchi bo’ladi (bu (11.24) qatorning yig’indisi ga teng).
Dirixle-Abel alomati. Faraz qilaylik,

ixtiyoriy haqiqiy sonlar ketma-ketliklari bo’lib,

bo’lsin. U holda uchun
(11.25)
munosabat o’rinli bo’ladi.
Odatda (11.25) munosabat Abel ayniyati deyiladi.
8-teorema (Abel alomati). Aytaylik,
(11.26)
qator berilgan bo’lsin. Agar: 1) ketma-ketlik monoton va chegaralangan, 2) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (11.26) qator yaqinlashuvchi bo’ladi.
9-teorema (Dirixle alomati). (11.26) qator berilgan bo’lsin. Agar:
1) ketma-ketlik biror nomerdan boshlab monoton bo`lib nolga intilsa,
2) qatorning qismiy yig’indilari ketma-ketligi chegaralangan bo’lsa, u holda (11.26) qator yaqinlashuvchi bo’ladi.