Tenglamalari Ma’ruza rejasi

6-ma’ruza

Tekislik va fazodagi to’g’ri chiziqning, hamda tekislikning turli ko’rinishdagi tenglamalari
Ma’ruza rejasi:

1. 
   Tekislikdagi to’gri chiziqning turli ko’rinishdagi tenglamalari.
   
2. 
   Tekislikning turli ko’rinishdagi tenglamalari.
   
3. 
   Fazodagi to’gri chiziqning turli ko’rinishdagi tenglamalari.
   

Tekislikdagi to’gri chiziqning turli ko’rinishdagi tenglamalari

Berilgan nuqtadan o’tuvchi va berilgan vektorga perpendikulyar to’g’ri chiziq tenglamasi. Tekislikda berilgan 𝑛⃗→ = ^*𝐴, 𝐵⁺ vektorga perpendikulyar va 𝑀₀⁽𝑥₀, 𝑦₀⁾ nuqtadan o‟tuvchi 𝐿 to‟g‟ri chiziq tenglamasini tuzamiz. 𝑀(𝑥, 𝑦) nuqta 𝐿 to‟g‟ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo‟lsin (1-rasm). U holda 𝑀^{⃗⃗⃗⃗⃗}₀^⃗⃗𝑀^⃗⃗→ va 𝑛⃗→ vektorlar o‟zaro perpendikulyar bo‟ladi.
𝑀^{⃗⃗⃗⃗⃗}₀^⃗⃗𝑀^⃗⃗→ va 𝑛⃗→ vektorlarning 𝑀^{⃗⃗⃗⃗⃗}₀^⃗⃗𝑀^⃗⃗→ = ^*𝑥 − 𝑥₀, 𝑦 − 𝑦₀⁺, 𝑛⃗→ = ^*𝐴, 𝐵⁺ koordinatalari bilgan holda, ularning ortogonallik shartini ularning skalayar ko„paytmasi orqali ifodalaymiz:
𝐴⁽𝑥 − 𝑥₀⁾ + 𝐵⁽𝑦 − 𝑦₀⁾ = 0 (1)
(1) tenglama 𝑀₀⁽𝑥₀, 𝑦₀⁾ nuqtadan o‟tuvchi va 𝑛⃗→ = ^*𝐴, 𝐵⁺ vektorga perpendikulyar to‟g‟ri chiziq englamasi bo‟ladi. 𝑛⃗→ = ^*𝐴, 𝐵⁺ vektor 𝐿 to‟g‟ri chiziqning normal vektori deb ataladi.

𝑛⃗→
𝐿
90^° 𝑀

𝑀₀

1-rasm
2 -rasm

To’gri chiziqning umumiy tenglamasi. 𝐴² + 𝐵² G 0 deb faraz qilib, (1) tenglamada qavslarni ochib va 𝐶 = 𝐴𝑥₀ + 𝐵𝑦₀ deb belgilash kiritib, uni
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (2)
ko‟rinishda yozib olamiz. (2) tenglama to‟g‟ri chiziqning umumiy tenglamasi deb ataladi.

1. 
   Misol. 𝑀₁(1, −2) va 𝑀₂(2; −1) nuqtalar berilgan. 𝑀₁ nuqtadan o„tuvchi va 𝑛⃗→ =
   

^⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₁^⃗⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₂^→ vektorga perpendikulyar to„g„ri chiziq tenglamasini tuzing.

• 
  Dastlab 𝑛⃗→ vektorni topamiz: 𝑛⃗→ = 𝑀^{⃗⃗⃗⃗⃗}₁^⃗⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₂^→ = ^*2 − 1; −1 − ⁽−2⁾⁺ = ^*1; 1⁺. Demak
  

𝑛⃗→ = ^*1; 1⁺ vektor qidirilayotgan to„g„ri chiziqning normal vektori bo„lar ekan. U holda
(1) formulaga ko„ra qidirilayotgan to„g„ri chiziqning tenglamasini tuzamiz:
1 · ⁽𝑥 − 1⁾ + 1 · (𝑦 − ⁽−2⁾) = 0

yoki bundan

tenglamani hosil qilamiz. ◄

𝑥 + 𝑦 + 1 = 0

To‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi. Tekislikda 𝑂𝑥𝑦 to„g„ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi va (2) tenglama bilan 𝐿 to„g„ri chiziq berilgan

bo„lsin. Bu tenglamada 𝐵 G 0 bo„lsin. Bu shartda 𝐿 to„g„ri chiziq 𝑂𝑦 o„qqa parallel bo„lmaydi va uning tenglamasini
𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 (3)
ko„rinishda yozib olamiz, bu yerda 𝑘 = −𝐴/𝐵, 𝑏 = −𝐶/𝐵.
(3) tenglamadagi 𝑏 koeffisiyent 𝐿 to„g„ri chiziqning boshlang„ich ordinatasi deb ataladi. U bu to„g„ri chiziqning 𝑂𝑦 o„qni kesib o„tish nuqtasining ordinatasiga teng (𝑥 = 0 bo„lsa 𝑦 = 𝑏 bo„ladi). 𝑘 −to‟gri chiziqning burchak koeffisiyenti deb atalib, uning uchun
𝑘 = tg 𝜑

tenglik o‟rinli bo‟ladi. Bu yerda 𝜑 berilgan 𝐿 to„g„ri chiziq bilan 𝑂𝑥 o„q orasidagi burchak.

2. 
   ^{Misol. 𝑂𝑥 o„q bilan 𝐿:} √^{3𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 to„g„ri chiziq orasidagi 𝜑 burchakni toping.}
   

• 
  
  ^{To„g„ri chiziq tenglamasini (3) ko„rinishda yozib olamiz: 𝑦 = −}√^{3𝑥 + 2, bundan}
  

^{𝑘 = tg 𝜑 = −}√^{3 va 𝜑 = 2𝜋/3.◄}
Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi. Tekislikda 𝑀₀(𝑥₀, 𝑦₀) nuqta va

𝑥 − 𝑥0 = 𝑦 − 𝑦0 𝑙 𝑚

(5)

𝑞→ = ^*𝑙, 𝑚⁺ vektor berilgan bo„lsin. 𝑀₀(𝑥₀, 𝑦₀) nuqtadan o„tuvchi va 𝑞→ = ^*𝑙, 𝑚⁺ vektorga parallel 𝐿 to„g„ri chiziq tenglamasini tuzamiz. 𝑀(𝑥, 𝑦) ana shu 𝐿 to„g„ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo„lsin. U holda 𝑀^{⃗⃗⃗⃗⃗}₀^⃗⃗𝑀^⃗⃗→ = ^*𝑥 − 𝑥₀, 𝑦 − 𝑦₀⁺ vektor 𝑞→ vektorga kollinear bo„ladi. Ikki vektorning kollinearlik shartidan

tenglik o„rinli bo„ladi. (5) tenglama tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi,

𝑞→ vektor esa 𝐿 to„g„ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori deb ataladi.
Berilgan ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi. Tekislikda ikkita
𝑀₁(𝑥₁, 𝑦₁) va 𝑀₂(𝑥₂, 𝑦₂) nuqtalar berilgan bo„lsin. Bu ikki nuqtadan o„tuvchi 𝐿 to„g„ri chiziq tenglamasini tuzamiz. 𝑀(𝑥, 𝑦) bu 𝐿 to„g„ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo„lsin. U
holda 𝑀^{⃗⃗⃗⃗⃗}₁^⃗⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₂^→ = ^*𝑥₂ − 𝑥₁, 𝑦₂ − 𝑦₁⁺ va ^⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₁^⃗⃗𝑀^⃗⃗→ = ^*𝑥 − 𝑥₁, 𝑦 − 𝑦₁⁺ vektorlar collinear

𝑥 − 𝑥1 = 𝑦 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1

(6)

bo„ladi. Ikki vektorning kollinearlik shartiga ko„ra

tenglik o„rinli bo„lishi kerak. (6) tenglama berilgan ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi deb ataladi.

Agar (6) tenglamada 𝑞→ yonaltiruvchi vektor sifatida vektorni olsak (5) kanonik tenglama hosil bo„ladi.
⃗_𝑀⃗⃗⃗⃗₁⃗⃗_𝑀⃗⃗⃗⃗₂→ _{= *𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1+}

To‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi. (5) tenglikdagi har bir nisbatni 𝑡
parametrga tenglashtiramiz:
𝑥 − 𝑥_{0 = 𝑡,} 𝑦 − 𝑦_{0 = 𝑡.}
𝑙 𝑚
Bu tengliklarda 𝑥 va 𝑦 o„zgaruvchilarni 𝑡 parametr orqali ifodalasak, quyidagi

_{ 𝑥 = 𝑙𝑡 + 𝑥₀,
𝑦 = 𝑚𝑡 + 𝑦₀,
𝑡 ∈ R, (7)

sistemani hosil qilamiz. Bu sistema tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning parametrik

tenglamasi deb ataladi.
To‘g‘ri ciziqning kesmalardagi tenglamasi. 𝐿 to„g„ri chiziqni uning koordinata o„qlari bilan kesishish nuqtalari orqali aniqlaymiz. Bu nuqtalar 𝐴(𝑎, 0) va 𝐵(0, 𝑏) bo„lsin va
𝑎 G 0, 𝑏 G 0 deb faraz qilamiz (3-rasm).
𝐿 to„g„ri chiziqning tenglamasini uning 𝐴 va 𝐵 nuqtalari bo„yicha (6) tenglamaga ko„ra tuzamiz:
𝑥 − 𝑎 𝑦 − 0
= ,

bundan – 𝑥/𝑎 + 1 = 𝑦/𝑏, yoki
0 − 𝑎
𝑏 − 0

𝑥 𝑦 𝑎 + 𝑏 = 1

(8)

tenglamani hosil qilamiz va u to‘g‘ri chiziqning kesmalardagi tenglamasi deb ataladi.
To‘g‘ri chiziqning normal tenglamasi. 𝐿 to„g„ri chiziqni unga perpendikulyar bo„lgan
𝑛⃗→ birlik vektor va koordinatalar boshidan to„g„ri chiziqqacha bo„lgan
𝑝 > 0 masofa yordamida aniqlaymiz. 𝐿 to„g„ri chiziqqa perpendikulyar bo„lgan ikkita birlik vektor bor. Ulardan boshi 𝑂 koordinatalar boshida va 𝐿 to„g„ri chiziq tomon yo„nalganini tanlaymiz (4-rasm).
Tanlangan 𝑛⃗→ vektor o„zining 𝑂𝑥 o„q bilan tashkil qilgan 𝜑 burchagi bilan bir qiymatli aniqlanadi. 𝑛⃗→

4-rasm
vektorning koordinatalari bu burchak bilan osongina hisoblanadi: 𝑛⃗→ = ^*cos 𝜑 ; sin 𝜑⁺.

𝑄(𝑥, 𝑦) nuqta 𝐿 to„g„ri chiziqqa tegishli degan shart 𝑄 nuqta radius-vektorining to„g„ri chiziq normal vektori yo„nalishidagi ortogonal proyeksiyasi 𝑂 koordinatalar boshidan to„g„ri chiziqqacha bo„lgan 𝑝 masofaga teng degan tasdiq bilan teng kuchli:
𝑝𝑟_𝑛⃗→^⃗𝑂^⃗⃗⃗⃗𝑄^⃗→ = 𝑝 (4-rasm). 𝑝𝑟_𝑛⃗→𝑂^{⃗⃗⃗⃗⃗}𝑄^⃗→ proyeksiya 𝑂^{⃗⃗⃗⃗⃗}𝑄^⃗→ va 𝑛⃗→ vektorlarning skalyar

ko„paytmasiga teng, chunki 𝑛⃗→ normal vektorning uzunligi birga teng va bu
⃗_𝑂⃗⃗⃗⃗_𝑄⃗→_{𝑛⃗→ = 𝑝}

tenglikka olib keladi. 𝑂^{⃗⃗⃗⃗⃗}𝑄^⃗→𝑛⃗→ skalyar ko„paytmani koordinatalarda ifodalab, 𝐿 to„g„ri
chiziqning tenglamasini
𝑥 cos 𝜑 + 𝑦 sin 𝜑 − 𝑝 = 0 (9)

ko„rinishda olamiz. (9) tenglama to‘g‘ri chiziqning normal tenglamasi deb ataladi.
To„g„ri chiziqning 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 umumiy tenglamasini ±√𝐴² + 𝐵² normallovchi ko„paytuvchiga bo„lib, uni normal tenglamaga aylantirish mumkin. Ishorani 𝐶 ozod handing ishorasiga qarama-qarshi qilib tanlanadi. Normallovchi ko„paytuvchi absolyut qiymati bo„yicha 𝑛⃗→ = ^*𝐴; 𝐵⁺ normal vektorning uzunligiga teng, ishorani tanlash esa ikkita yo„nalishdan birini tanlashni anglatadi. Agar 𝐶 = 0 bo„lsa, to„g„ri chiziq koordinatalar boshidan o„tadi (𝑝 = 0). Bu holda normallovchi ko„paytuvchining ishorasini ixtiyoriy olish mumkin.

3. 
   Misol. 4𝑥 − 3𝑦 − 5 = 0 tenglamani normal ko„rinishga keltiring.
   

• 
  Dastlab ±√𝐴² + 𝐵² normallovchi ko„paytuvchini hisoblaymiz, u berilga to„g„ri chiziq uchun √4² + 3² = 5 ga teng. Shuning uchun to„g„ri chiziqning normal tenglamasi
  

4
𝑥 −
5
3
𝑦 − 1 = 0
5

ko„rinishda bo„ladi. Bu holda 𝑝 = 1, cos 𝜑 = 4/5, sin 𝜑 = −3/5 bo„ladi.◄ formula bilan hisoblanadi.