Tenglamalari Ma’ruza rejasi

Berilgan uch nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasi. 𝑀₁(𝑥₁; 𝑦₁; 𝑧₁), 𝑀₂(𝑥₂; 𝑦₂; 𝑧₂) va 𝑀₃(𝑥₃; 𝑦₃; 𝑧₃) nuqtalar bir to„g„ri chiziqda yotmasin. U holda bu nuqtalar orqali o„tuvchi yagona 𝑇 tekislik mavjud. Bu tekislik tenglamasini ixtiyoriy 𝑀 nuqtaning 𝑇 tekislikka tegishli bo„lish sharti orqali topamiz. Bu shart tekislikning ixtiyoriy
𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) nuqtasi uchun 𝑀^{⃗⃗⃗⃗⃗}₁^⃗⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₂^→ = ^*𝑥₂ − 𝑥₁; 𝑦₂ − 𝑦₁; 𝑧₂ − 𝑧₁⁺, 𝑀^{⃗⃗⃗⃗⃗}₁^⃗⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₃^→ = ^*𝑥₃ −
𝑥₁; 𝑦₃ − 𝑦₁; 𝑧₃ − 𝑧₁⁺ va ^⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₁^⃗⃗𝑀^⃗⃗→ = ^*𝑥 − 𝑥₁; 𝑦 − 𝑦₁; 𝑧 − 𝑧₁⁺ vektorlarning komplanar
bo„lishidan iborat. Aralash ko„paytmaning 2-xossasiga ko„ra bu vektorlar komplanar bo„lishi uchun ularning aralash ko„paytmasi nolga teng bo„lishi kerak:
^⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₁^⃗⃗𝑀^{⃗⃗→ ⃗}𝑀^⃗⃗⃗₁^⃗⃗⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₂^{→ ⃗}𝑀^⃗⃗⃗₁^⃗⃗⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₂^→=0. Bu tenglikni koordinatalari bilan berilgan uchta vektor aralash ko„paytmasini hisoblashning (2.49) formulasiga ko„ra
𝑥 − 𝑥₁ 𝑦 − 𝑦₁ 𝑧 − 𝑧₁
^|𝑥2 ^{− 𝑥}1 ^𝑦2 ^{− 𝑦}1 ^𝑧2 ^{− 𝑧}1^{| = 0 (14)}
𝑥₃ − 𝑥₁ 𝑦₃ − 𝑦₁ 𝑧₃ − 𝑧₁
ko„rinishda yozish mumkin. Bu tenglama berilgan uch nuqtadan o‘tuvchi tekislik
tenglamasi deb ataladi. Determinantni hisoblab qidirilayotgan tekislikning umumiy tenglamasini hosil qilamiz. Masalan, determinantni 1-satr elementlari bo„yicha yoysak

_|𝑦₂ − 𝑦₁ 𝑧₂ − 𝑧_{1| (𝑥 − 𝑥}
⁾ − |^{𝑥2 − 𝑥1 𝑧2 − 𝑧1}| ⁽𝑦 − 𝑦 ⁾ +

𝑦₃ − 𝑦₁ 𝑧₃ − 𝑧₁ ¹ 𝑥₃ − 𝑥₁ 𝑧₃ − 𝑧₁ ¹

+ |^{𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1}| ⁽𝑧 − 𝑧
⁾ = 0

𝑥₃ − 𝑥₁ 𝑦₃ − 𝑦₁ ¹
tenglikka ega bo„lamiz. Qavslar ochilgandan so„ng bu tenglik tekislikning umumiy tenglamasiga aylanadi.
Tekislikning kesmalardagi tenglamasi. Berilgan uch nuqtadan o„tuvchi tekislikning xususiy holini qaraymiz. 𝑀₁(𝑎; 0; 0),𝑀₂(0; 𝑏; 0), 𝑀₃(0; 0; 𝑐), 𝑎𝑏𝑐 G 0, nuqtalar bitta to„g„ri chiziqda yotmaydi va koordinata o„qlarida noldan farqli uzunlikka ega kesmalar ajratuvchi tekislikni aniqlaydi (7-rasm). Bu yerda “kesma uzunligi” deganda
𝑀₁, 𝑀₂ va 𝑀₃ nuqtalar radius-vektorlarining noldan farqli koordinatalari nazarda tutilgan.
𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) bu tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo‟lsa, 𝑀^{⃗⃗⃗⃗⃗}₁^⃗⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₂^→ = ^*−𝑎; 𝑏; 0⁺, ^⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₁^⃗⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₃^→ =

^*−𝑎; 0; 𝑐⁺,
^⃗𝑀^⃗⃗⃗⃗₁^⃗⃗𝑀^⃗⃗→ = ^*𝑥 − 𝑎; 𝑦; 𝑧⁺ bo„lganligi uchun (14) tenglama
𝑥 − 𝑎 𝑦 𝑧
|^{−𝑎 𝑏 0}| = 0
−𝑎 0 𝑐

ko„rinishni oladi. Determinantni hisoblab,
𝑏𝑐⁽𝑥 − 𝑎⁾ + 𝑎𝑐𝑦 + 𝑎𝑏𝑧 = 0
tenglikka ega bo„lamiz va uni 𝑎𝑏𝑐 ko„paytmaga bo„lsak

𝑥 𝑦 𝑧
_𝑎 + _𝑏 + _𝑐 = 1
tenglama hosil bo„ladi. Bu tenglama tekislikning kesmalardagi tenglamasi deb ataladi.

^𝑥 7-rasm

5. 
   Misol. 𝐴(1; 1; 2) nuqtadan o„tuvchi va koordinata o„qlaridan bir xil uzunlikdagi kesmalar ajratuvchi tekislik tenglamasini tuzing.
   

►Qidirilayotgan tekislik koordinata o„qlarida bir xil uzunlikdagi kesmalar ajratgani uchun, uning tenglamasi
𝑥 𝑦 𝑧
_𝑎 + _𝑎 + _𝑎 = 1
ko„rinishda bo„ladi. Bu tenglamani 𝐴(1; 1; 2) nuqtaning koordinatalari ham
qanoatlantirishi kerak: (1 + 1 + 2)/𝑎 = 1. Bundan esa 𝑎 = 4 ga va natijada qidirilayotgan 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 4 = 0 tenglamaga ega bo„lamiz. ◄
Tekislikning normal tenglamasi. Fazoda biror 𝑇 tekislikni qaraymiz. Uning uchun koordinatalar boshidan “tekislik tomonga” yo„nalgan birlik normal 𝑛⃗→ vektorni olamiz va
𝑝 orqali koordinatalar boshidan 𝑇 tekislikkacha bo„lgan masofani belgilaymiz (8-rasm). Agar tekislik koordinatalar boshidan o„tgan bo„lsa, 𝑝 = 0deb va 𝑛⃗→ normalning yo„nalishi sifatida mumkin bo„lgan ikki yo„nalishdan ixtiyoriy birini tanlaymiz.
Agar 𝑄 nuqta 𝑇 tekislikning nuqtasi bo„lsa, 𝑂^{⃗⃗⃗⃗⃗}𝑄^⃗→ vektorning 𝑛⃗→ vektor yo„nalishidagi ortogonal proyeksiyasi 𝑝 ga teng bo„ladi, ya‟ni 𝑛⃗→𝑂^{⃗⃗⃗⃗⃗}𝑄^⃗→ = 𝑝𝑟_𝑛⃗→𝑂^{⃗⃗⃗⃗⃗}𝑄^⃗→ = 𝑝, chunki 𝑛⃗→ vektorning uzunligi birga teng.
𝑄 nuqtaning koordinatalari (𝑥; 𝑦; 𝑧) va 𝑛⃗→ = ^*cos 𝛼 ; cos 𝛽 ; cos 𝛾⁺ bo„lsin (birlik vektor uchun uning yo„naltiruvchi vektorlari bir vaqtning o„zida koordinatalari ham bo„lishini eslatib o„tamiz). 𝑛⃗→^⃗𝑂^⃗⃗⃗⃗𝑄^⃗→ = 𝑝 tenglikdagi skalyar ko„paytmani koordinatalar orqali ifodalasak
𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾 − 𝑝 = 0
tekislikning normal tenglamasini hosil qilamiz.

Tekislikdagi to„g„ri chiziq holi singari, fazodagi tekislikning umumiy tenglamasini normallash-tiruvchi ko„paytuvchiga bo„lib, uni normal ko„rinishga o„tkazish mumkin.
Tekislikning 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 tenglamasi uchun ±√𝐴² + 𝐵² + 𝐶² son normallashtiruvchi ko„paytuvchi bo„ladi, uning ishorasi 𝐷 koffisiyentning ishorasiga qarama-qarshi olinadi. Absolyut qiymati bo„yicha normallashtiruvchi ko„paytuvchi
^*𝐴; 𝐵; 𝐶⁺ noprmal vektor uzunligiga teng. Agar tekislik koordinatalar boshidan o„tsa, ya‟ni 𝐷 = 0 bo„lsa, normallashtiruvchi ko„paytuvchining ishorasini ixtiyoriy tanlash mumkin.

5. 
   Misol. Tekislikning 3𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 + 14 = 0 umumiy tenglamasini normal ko„rinishga keltiring.
   

►Normallashtiruvchi ko„paytuvchini “−” ishora bilan hisoblaymiz (chunki 𝐷 = 14 > 0):
1 1
𝜇 = − = − .
√3² + (−6)² + 2^{2 7}
Shunday qilib, berilgan tekislikning normal tenglamasi

3
− 𝑥 + 7
6
𝑦 −
7
2
𝑧 − 2 = 0
7

ko„rinishda bo„ladi. Tenglamadan ko„rinib turibdiki tekislikdan koordinatalar
boshigacha bo„lgan masofa 𝑝 = 2 bo„ladi.◄