The type of the gallerstedt problem for the degenerate loaded parabolo-hyperbolic type equation

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы.
Любое регулярное решение уравнения при может быть представимо в виде [4], [10]:

где

здесь и регулярные решения уравнения
,
,
а и произвольные дважды непрерывно дифференцируемые решения уравнения
,
и
,
соответственно.
Учитывая, что функция является решениям уравнениям и , произвольные функции и можно починить условиям

.
Решение задачи Коши , и , соответственно имеет вид:
, ,
, ,
где

В силу , , , , , , задача сведется к
задача для уравнения

с краевыми условиями


, ,
,
,
здесь и , - определяются из .
В силу решения задачи Коши [9] для уравнения в области с учётом имеем

, ,

, ,
где , ,
, , ,
и - интегральные операторы дробного порядка [11].
Применяя дифференциальные операторы, и к обеим частям равенств и используя, формулы [11]:



получим функциональные соотношения между и , принесенные из области на :

, ,

, ,

В силу условия 1) задачи переходя к пределу при в уравнении и условия с учётом и получим

,
, ;
,
, .
Решая задачу и ( и ) получим функциональное соотношение между и , перенесенное из области на :
,
,
где
,
.
Теперь переходим к доказательству единственность решения задачи
Справедлива следующая лемма:
Лемма 1. Если выполнены условия , , то задача в области не может иметь более одного решения.