The type of the gallerstedt problem for the degenerate loaded parabolo-hyperbolic type equation

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 1.
Пусть , тогда единственность решения задачи вытекает из единственности решения задачи
В работе [9] была доказана, что
, .
Отсюда и из принципов экстремума для вырождающихся параболических и гиперболических уравнений [12], [13], [14] следует единственность решения задачи .
В силу , из получим
,
В силу и с учётом принцип экстремума для вырождающегося уравнения параболического типа [12], [13] заключаем, что первая краевая задача с нулевыми граничными условиями, не имеет отличного от нуля решения т.е.
.
Из решения задачи Коши-Гурса с нулевыми данными (т.е. ) для уравнения в области следует, что
.
В силу , , из имеем
. Тем самым доказана единственность решения задачи для уравнения .
Принимая во внимание , из имеем
.
Отсюда следует единственность решения задачи для уравнения
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Если выполнены условия , , , и , то в области решение задачи существует.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Исключая из и с учётом , , получим интегральное уравнение относительно :
, ,
, ,
где и - известные функции.
В силу , , , и следует, что ядро и правой части уравнения допускают оценки
,
.
На основании , и с учётом заключаем, что и это функция может обращаться в бесконечность порядка меньше
при , а при и ограничено.
Отсюда и в силу и уравнения является интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Согласно теории интегральных уравнений Фредгольма [15] и из единственности решения задачи заключаем, что интегральное уравнение однозначно разрешимо в классе , причем может иметь особенность порядка меньше при , а при и при ограничено и её решение даётся формулой:
,
при ,

при , здесь - резольвента ядро .
Подставляя в находим .
Следовательно, задача однозначно разрешима в силу эквивалентности ее интегральному уравнению Фредгольма второго рода .
Таким образом, решения задача можно восстановить в области как решение первой краевой задачи для уравнения [16], а в как решение задачи Коши для уравнения .