U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

 
 
 

---

5 
 
I BOB. STOXASTIKA ELEMENTLARINING MATEMATIKA 
TA’LIMIDA SHAKLLANISH BOSQICHLARI 
 
Ushbu bobda stoxastika elementlarining paydo bo‘lishi haqidagi 
ayrim tarixiy ma’lumotlar, stoxastika tushunchasining ma’nosi va 
stoxastik metodlarning ahamiyati, bu sohani shakllanishida salmoqli 
hissa qo‘shgan yetuk olimlar haqida ma’lumotlar bayon etilgan.
1-§. Stoxastikaning rivojlanish tarixi 
 
1.1. Kombinatorika. Ma‟lumki, har qanday jamiyatning rivojla-
nish darajasi undagi fan va texnikaning taraqqiyoti bilan belgilanadi. O„z 
navbatida fan va texnikaning taraqqiy etishida matematika va matematik 
metodlar asosiy rol o„ynaydi. Matematik metodlar sistemasida esa, 
stoxastik metodlar (stoxastika) o„zining o„rni va vazifasi, ishonchliligi 
va samaraliligi bilan ajralib turadi. 
Stoxastika-stoxastik metodlar deganda, umuman, “Ehtimollar 
nazariyasi va matematik statistika” fani asosida yuzaga kelgan 
matematik metodlar majmuasi tushuniladi. Stoxastika elementlarining 
kombinatorik tahlil, birlashmalar nazariyasi, qisqacha kombinatorika 
deb ataluvchi bo„limida chekli yoki muayyan ma‟noda cheklilik shartini 
qanoatlantiruvchi to„plamni (bu to„plamning elementlari qanday bo„li-
shining ahamiyati yo„q) qismlarga ajratish, ularni o„rinlash va o„zaro 
joylash, ya‟ni kombinatorik tuzilmalar bilan bog„liq masalalar 
o„rganiladi. Sodda qilib aytganda, ma‟lum obyektlarni maxsus 
qoidalarga bo„ysungan holda joylanishlarni va bu joylanishlar sonini 
hisoblash metodlarini o„rganadigan matematikaning bo„limi kombina-
torika deb ataladi. To„plamlar nazariyasi iboralari bilan aytganda esa, 
kombinatorikada kombinatsiyalar va to„plamlar, ularning birlashmalari 
va kesishmalari hamda kombinatsiyalar va qism to„plamlarni turli 
usullar bilan tartiblash masalalari qaraladi.
Kombinatorikaga oid ma‟lumotlar inson faoliyatining turli soha-
larida qo„llanilmoqda. Jumladan, kimyo, fizika, biologiya, lingvistika, 
axborot texnologiyalari va boshqa sohalar bilan faoliyat olib boruvchi 
mutaxassislar kombinatorikaning turli masalalariga duch keladilar. 
Chunki bizning kundalik hayotimizda ba‟zi amaliy masalalarni 

---

6 
yechishda kombinatorikadan foydalanishga to„g„ri keladi. To„plamlar 
nazariyasida bo„lgani kabi, kombinatorik metodlar ehtimollar nazari-
yasiga oid masalalarni yechishda muhim ahamiyat kasb etadi. Bu holat 
matematikani o„qitish metodikasida matematikaning boshqa tarmoqlari 
bilan uzviylik tamoyillari o„rinli ekanligiga ishora qiladi. Kombinatorika 
elementlari ehtimollar nazariyasi va matematik statistika faniga kirish 
deb ham qaraladi. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fani 
tabiiy fanlarda, ijtimoiy-iqtisodiy fanlarda hamda xalq xo„jaligining turli 
sohalarida tatbiqlanishi ma‟lum. 
Kombinatorikaning ba‟zi elementlari eramizdan oldingi II asrda 
hindistonliklarga ma‟lum edi. Eramizning XII asrida Bxaskara Acharya
1
o„zining ilmiy tadqiqotlarida guruhlash va o„rin almashtirishlarni 
qo„llagan. Tarixiy ma‟lumotlarga ko„ra, hindistonlik olimlar kombina-
torika elementlaridan foydalanib she‟riy asarlar tarkibiy tuzilishining 
mukammalligini tahlil qilishga urinishgan. Taniqli matematiklar: 
B.Paskal
2
, Yakob Bernulli
3
, L. Eyler
4
, R.L.Chebishev
5
turli o„yinlarda 
(tanga tashlash va shu kabilar) ilmiy jihatdan asoslangan qaror qabul 
qilishda kombinatorikani qo„llashgan.
XVII asrda kombinatorika matematikaning alohida bir ilmiy yo„-
nalishi sifatida shakllana boshladi. B. Paskal o„zining “Arifmetik uch-
burchak haqidagi traktat” va “Sonli tartiblar haqida traktat” (1665-y.) 
nomli asarlarida binomial koeffitsiyentlar deb ataluvchi sonlar haqidagi 
ma‟lumotlarni keltirgan. P.Ferma
6
esa figurali sonlar bilan birlashmalar 
nazariyasi orasidagi bog„lanishni aniqlagan.
”Kombinatorika” iborasi G.Leybnits
7
ning “Kombinatorik san‟at 
haqidagi mulohazalar” nomli asarida birinchi bor 1665-yilda keltirilgan.
Bu asarda birlashmalar nazariyasi ilmiy jihatdan ilk bor asoslangan. 
O„rinlashtirishlarni o„rganish bilan esa birinchi bo„lib Yakob Bernulli 
shug„ullangan va bu haqdagi ma‟lumotlarni 1713-yilda bosilib chiqqan 
“Ars conjectandi” (“Bashorat qilish san‟ati”) nomli kitobining ikkinchi 
qismida bayon qilgan. Kombinatorikaning ayrim tushunchalarini kelib 
chiqishi va rivojlanishi haqida ba‟zi ma‟lumotlarni keltirib o„tamiz: 
1
Bxaskara Acharya (1114-1178 yilda keyin) –hindistonlik matematik va astronom. 
2
Blez Paskal (1623-1662) –fransuz faylasufi, ixtirochisi, matematigi va fizigi.
3
Yakob Bernulli (1654-1705) –Shvytsariya matematigi. 
4
Leonard Eyler (1707-1783) –mashhur ingliz matematigi, mexanik va fizik. 
5
Chebo„shev Pafnutiy Lvovich (1821-1894) rus matematigi va mexanigi. 
6
Ferma P‟er (1601-1665) fransuz matematigi va huquqshunosi. 
7
Gotfrit Leybnits (1646-1716) –nemis faylasufi, matematigi, fizigi, ixtirochisi, tarixchi va 
tilchisi. 

---

7 
O„rta maktab matematika kursidan ma‟lum bo„lgan quyidagi qisqa 
ko„paytirish formulasini eslaylik: 
Ixtiyoriy 
va haqiqiy sonlar hamda natural soni uchun
ifodaning ko„phad shaklidagi yoyilmasi Nyuton
8
binomi formulasi deyi-
ladi. “Nyuton binomi” iborasiga tanqidiy nuqtayi nazardan yondashilsa, 
undagi har ikki so„zga nisbatan ham shubha tug„iladi: birinchidan, 
ifoda birdan katta natural 
sonlar uchun binom (ya‟ni 
ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi 
Nyutongacha ma‟lum edi. Greklar 
ifodaning qator yoyilmasini 
ning faqat bo„lgan holida (ya‟ni yig„indi kvadratining 
formulasini) bilar edilar. Umar Xayyom
9
va Ali Qushchi
10
ifodani 
bo„lgan natural sonlar uchun ham qatorga yoya bilganlar. 
Nyuton esa 1767-yilda yoyilma formulasini isbotsiz manfiy va kasr 
sonlar uchun ham qo„llagan. L.Eyler 1774-yilda Nyuton binomi 
formulasini kasr 
sonlar uchun isbotladi. K.Makloren
11
esa bu 
formulani darajaning ratsional ko„rsatkichlari uchun qo„llagan. Nihoyat, 
N.Abel
12
daraja ko„rsatkichining istalgan kompleks qiymatlari uchun 
binom haqidagi teoremani isbotladi. Kombinatorikada ma‟lum bo„lgan
Paskal uchburchagi nomini olgan arifmetik uchburchak Paskal nomi 
bilan atalsa-da, bunday sonlar jadvali juda qadimdan dunyoning turli 
mantaqalarida, jumladan, Sharq mamlakatlarida ma‟lum bo„lgan. 
Masalan, Eronda yashab ijod etgan Nosir at-Tusiy
13
XIII asrda bu 
jadvaldan foydalanib, berilgan ikki son yig„indisining natural darajasini 
hisoblash usulini o„zining ilmiy ishlarida keltirgan. G„arbda Al-Koshiy 
nomi bilan mashhur Samarqandlik olim Ali Qushchi butun sonning 
istalgan natural ko„rsatkichli arifmetik ildizi qiymatini taqribiy hisob-
lashda bu jadvaldan foydalangan. Keyinchalik Yevropada bu sonlar 
uchburchagi haqida M.Shtifel
14
arifmetika bo„yicha qo„llanmalarida 
bayon qilgan va butun sondan istalgan natural ko„rsatkichli arifmetik 
ildizning taqribiy qiymatini hisoblashda bu uchburchakdan foydalangan. 
8
Isaak Nyuton (1643-1727) –ingliz fizigi, mexanigi va matematigi. 
9
Umar Xayyom (G„iyosiddin Abulfaz Umar Ibn Ibrohim Xayyom Nishopuriy,
(1048-1131) ‒ fors shoiri, matematigi va faylasufi. 
10
Ali Qushchi (Jamshid Ibn Ma‟sud, 1436-1437) ‒ o„zbek matematigi va astronomi. 
11
Kolin Makloren (1698-1746) –Shotlandiya matematigi. 
12
Abel Nils Xenrik (1802-1829) ‒ Norvegiya matematigi. 
13
Nosir at-Tusiy (Nosir Ad-Din-Muxammad Ibn Muxammad Ibn-Al-Xasan, 1201-1274) – Eron 
astronomi va matematigi.
14
Mixel Shtifel (1487-1567) ‒ nemis matematigi. 

---

8 
1556-yilda bu sonlar jadvali bilan N.Tartaliya
15
, keyinroq logarifmik 
lineyka ijodkori U.Otred
16
(1631-y.) ham shug„ullangan. 1654-yilga 
kelib, B.Paskal o„zining “Arifmetik uchburchak haqidagi traktat” nomli 
asarida bu sonlar jadvali haqidagi ma‟lumotlarni batafsil e‟lon qildi.
Yana ajoyib xususiyatga ega bo„lgan “Fibonachchi
17
sonlari” deb 
ataluvchi kombinatorik tushuncha haqida ma‟lumotlar keltiramiz.
Elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo„lgan ketma-ketlikning 
uchinchi hadidan boshlab, har biri o„zidan oldingi ikkita elementning 
yig„indisiga teng ketma-ketlik ‒ Fibonachchi qatori, uning hadlari esa ‒ 
Fibonachchi sonlari deb ataladi. “Fibonachchi sonlari” iborasi birinchi 
bo„lib, XIX asrda Eduard Lyuka
18
tomonidan qiziqarli matematikaga oid 
asarlarida keltirilgan. Fibonachchi italyancha “filius Bonacci” 
so„zlaridan qisqartirib olingan bo„lib, Bonachchining o„g„li ma‟nosini 
anglatadi. Bu Italiyaning Piza shahrida XII-XIII asrlarda yashagan 
Leonardo Pizanskiyning tahallusidir (laqabi). Bonachchi Italiya va 
Jazoirda savdo ishlari bilan shug„ullangan. U boshlang„ich ma‟lumotni 
Jazoirda olgan bo„lib, o„zining arab o„qituvchilaridan bir qancha 
bilimlar qatorida hind pozitsion o„nlik sanoq tizimi va nolni o„rgangan.
Fibonachchi “Liber abasi” nomli kitobida arifmetika va algebra bo„yicha 
ko„p ma‟lumotlarni bayon qilgan. Bu kitob “Abak haqidagi kitob” deb 
nomlanib, 1202-yilda yozilgan va hozirda 1228-yildagi qo„lyozma 
nusxasi saqlanadi. U kitobda hozirda amaldagi “arab” raqamlari bayon 
qilingan. Bizgacha yetib kelgan ma‟lumotlarga ko„ra, Fibonachchining 
o„zi Fibonachchi qatorining xossalarini o„rganmagan. Lekin u 
Fibonachchi sonlariga tegishli xususiyatga ega bo„lgan bir qancha 
masalalarni yechgan, keltirgan va amalda qo„llagan. Eduard Lyuka esa 
ixtiyoriy 
va 
sonlardan 
boshlanuvchi 
hamda 
rekurrent tenglik bilan aniqlanuvchi sonlar qatorini umumlashgan 
Fibonachchi qatori va unda qatnashgan hadlarni Fibonachchi sonlari
deb nomlagan. Fibonachchi sonlari tabiatning turli narsa va hodisalarida 
kutilmaganda namoyon bo„lishi mumkin. Masalan, kungaboqarning 
urug„lari joylashgan savatida osonlik bilan sanab aniqlash mumkin bo„l-
gan spirallar sonlari sifatida ko„rinadi. Kungaboqarning urug„lari joy-
lashgan savatida logarifmik spirallarning ikki oilasini kuzatish mumkin 
15
Nikkolo Tartaliya (1499-1557) –italyan matematigi va mexanigi.
16
Uilyam Otred (1574-1660) – ingliz matematigi.
17
Finobachchi Pizanskiy (1180-1240) – italyan matematigi. 
18
Eduard Lyuka (1842-1891) ‒ fransuz matematigi. 

---

9 
(logarifmik spiral, bu qutb koordinatalar tizimidagi tenglamasi 
bo„lgan egri chiziqlar, bunda 
Bu egri 
chiziq koordinatalar boshidan chiquvchi barcha nurlarni o„zgarmas 
burchak ostida kesib o„tadi va 
bo„ladi). Bu oilalardan birining 
spirallari aylanishi soat mili yo„nalishida, ikkinchisiniki esa teskari 
yo„nalishda bo„ladi. Botanikada spirallar oilasining bunday joylashishini
“fillotaksis” (yunon tilida bu so„z bargning tuzilishi ma‟nosini beradi) 
deb atashadi. Oilalardagi spirallar soni Fibonachchi qatorida ketma-ket 
joylashgan ikkita Fibonachchi sonlaridan iborat bo„ladi. Ular 
kungaboqar savatining kattaligiga qarab, 34 va 55 yoki 55 va 89, yoki 89 
va 144 bo„lgan Fibonachchi sonlari juftliklarini tashkil etadi. 
Kungaboqarlar filotaksisi va Fibonachchi sonlari orasidagi bu 
bog„lanishni birinchi bo„lib E.Lyuka e‟lon qilgan.
Hozirgi vaqtda kombinatorikada qo„llanilayotgan belgilashlarning 
ayrimlari XIX asrga kelib shakllandi. Masalan: Dastlabki 
ta natural 
sonlar ko„paytmasini 
(en factorial–deb o„qiladi, faktorial so„zi 
lotincha “factor” so„zidan olingan bo„lib, ko„paytuvchi ma‟nosini 
anglatadi) ko„rinishida belgilash qabul qilingan bo„lib,
belgisidan birinchi bo„lib nemis matematigi K.Kramp
19
1808-yilda 
nashr etilgan algebra bo„yicha qo„llanmada foydalangan. 
XX asrga kelib kombinatorika, matematika va uning tatbiqlarini 
rivojlanishiga hech qanday aloqador emas va u o„z yakunini topgan fan 
deb hisoblaydigan fikrlar ham paydo bo„ldi. Lekin XX asr boshidan 
boshlab, kombinatorika chekli to„plamlarni o„rganishda asosiy metod 
hisoblanib, u to„plamlar nazariyasining maxsus bo„limiga aylandi. 
Hozirgi paytda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika, ma‟lu-
motlar nazariyasi, hisoblash texnikasini mukammallashtirish muammo-
larini hal qilishdagi juda muhim tatbiqlari natijasida, kombinatorika 
matematikaning intensiv rivojlanib borayotgan sohasiga aylandi.