U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

1.2. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. XX asr 
matematikasining yirik namoyandalaridan biri, amerikalik olim V.Feller 
(1906-1970) quyidagi fikrlarni keltirgan: “Ehtimollar nazariyasi ‒
geometriya va nazariy mexanika kabi matematik fandir. Har qanday 
matematik fanda uning bir-biridan farqli uchta qirralariga e‟tibor berish 
kerak: 
a) uning formal (aksiomatik) moslik asoslariga; 
b) undagi induktiv tasavvurlarga; 
19
Kristian Kramp (1760-1826) – nemis matematigi. Asosiy ishlari kombinatorika, geometriya va 
algebraga bag„ishlangan. 

---

10 
c) tatbiqiy masalalarga aloqadorligiga. 
Bu uchta qirra, o„zaro bog„liqlik asosida qaralganda, matematik 
fanlarning bir-biridan farqli tarmoqlarini topishga, u yoki bu fanning 
qanchalik foydali ekanligini baholashga imkon beradi. 
Ma‟lumki, fan aniq bir qonuniyatlarga bo„ysunadigan voqea va 
jarayonlarni kashf etadi. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika 
hozirgi zamon matematikasida yirik intensiv ravishda rivojlanib 
borayotgan sohani tashkil qiladi va u aniq voqea va jarayonlar orasidagi 
“tasodifiylik” qonuniyatlarini o„rganadi. Alohida qayd qilib o„tish joizki, 
matematik ma‟nodagi “tasodifiylik” falsafa uchun muhim bo„lgan 
“tasodifiylik va zaruriyat” kategoriyalari bilan hamohangdir. 
Umuman, matematika boshqa fanlar qatorida ma‟lum qonuniyat-
larga bo„ysunadigan jarayonlarni o„rganadi. Matematika va uning 
obyekti, predmeti orasidagi munosabat quyidagicha ifoda etilishi 
mumkin.
Keltirilgan jadvaldagi ma‟lumot uchun Nyuton yaratgan klassik 
mexanika oddiy misol bo„ladi. Nyuton mexanikaning asosiy qonunlarini 
sodda (tushunarli) sxemalar ko„rinishida qabul qilib, ularga moddiy 
jismlarning o„zaro tortishish qonunini qo„shib, bu aksiomalar va 
deduktiv fikrlash yordamida oldin ro„y bergan yoki ro„y berishi mumkin 
bo„lgan mexanik jarayonlar tafsilotini tushuntirib berish mumkin 
ekanligini isbotladi. Ma‟lumki, hodisa ehtimolligini topish matematik 
formulalar bilan ifodalanadi. Bu esa biror o„rganilayotgan jarayonning 
(hodisaning) matematik modelidir. Haqiqatdan ham, matematika o„rga-
nilayotgan jarayonni bevosita o„rganmasdan, faqat uning matematik 
modelini o„rganadi, xolos. Bu borada mashhur amerikalik olim Kay Lay 
obyekt 

---

11 
Chjunga tegishli quyidagi o„xshatishni keltiramiz: agar matematik 
oldida uy yonayotgan bo„lsa, u yong„inni bevosita o„chirishdan ko„ra, 
ko„proq yong„inni o„chirish metodlari (usullari) haqida fikr yuritadi”.
«Ehtimollar nazariyasi» degan iborani ilk bor uchratgan kishida bu 
fanga nisbatan «shubhali fikrlar» yuzaga kelishi tabiiy holga o„xshaydi, 
chunki «nazariya» so„zi bu iboraning biror fanga aloqadorligini bildiradi 
va o„z navbatida har qanday fan aniq jarayonlarni o„rganadi, 
«ehtimollik» so„zi esa oddiy ma‟noda qandaydir noaniqlik, tasodifiylik 
mavjudligini ko„rsatadi. Haqiqatdan ham, «ehtimollar nazariyasi» 
tasodifiy xarakterga ega bo„lgan (oldindan ro„y berishi yoki bermasligini 
bashorat qilish mumkin bo„lmagan) jarayonlar, voqealarni o„rganadi. 
Keltirilgan fikrda yuzaga kelishi mumkin bo„lgan «qarama-qarshilik» 
oson tushuntirilishi mumkin. Aslida, «ehtimollar nazariyasi» tasodifiy 
jarayonlar bo„ysunadigan qonuniyatlarni o„rganadi (bu qonuniyatlar 
fanda stoxastik qonuniyatlar nomi bilan e‟tirof etilgan). Tasodifiy 
bo„lmagan jarayonlar – deterministik hodisalar deb ataladi va ular 
ma‟lum shartlar kompleksi bajarilganda, albatta ro„y beradi. Masalan, 
suvning temperaturasini oshira boshlasak, u qaynay boshlaydi. Lekin 
deterministik xarakterga ega bo„lgan hodisalar bilan bir vaqtda tasodifiy 
hodisalar (jarayonlar) ham ko„p uchraydi. Masalan, epidemiya davrida 
gripp bilan og„rigan kishilar sog„ayib ketishi, og„ir asoratga uchrashi 
yoki vafot etishi mumkin. Bu jarayon (gripp bilan kasallanish) natijasida 
nima bilan tugallanishini oldindan aytib berib bo„lmaydi, lekin bu 
natijalar har xil «ehtimollik» darajalariga ega bo„lishi mumkin. Aytilgan 
fikrlardan kelib chiqadiki, ehtimollar nazariyasining obyekti tasodifiy 
hodisalardan iborat bo„lib, ular uchun yuqoridagi jadvaldagi matematik 
modellar «ehtimollar» orqali bog„liqligi bilan ajralib turadi.
Ehtimollar nazariyasi fan sifatida shakllanishini XVII asrdan 
boshlangan deb hisoblanadi. Bu nazariya boshlang„ich davrda (qimor) 
o„yinlarida uchraydigan kombinatorika masalalarini yechishga bag„ish-
langan. Ayni shu masalalar mavjud deterministik matematik modellar 
doirasidan chiqib, yangi tushunchalar kiritish va yangi g„oyalarga 
asoslangan yechish usullarni talab qiladigan murakkab muammolarni 
o„rganishga olib kelgan. Shu kabi yangi g„oyalar o„sha davr olimlari 
Ferma, Paskal, Gyugens, keyinroq esa mashhur matematiklar Yakob 
Bernulli, Laplas, Gauss nomlari bilan bog„liq. 
Akademik A.A.Borovkov
20
ning e‟tirof etishicha, ehtimollar nazari-
yasiga oid birinchi traktat «Qimor o„yinlaridagi hisoblar haqida» 
20
A.A.Borovkov ‒ Rossiya fanlar akademiyasining akademigi

---

12 
mashhur fizik Gyugens tomonidan yozilgan (1657-y.). Gyugens bu 
traktatda o„rganilgan masalalarning rivojini bashorat qilib quyidagilarni 
yozadi: «Men ishonamanki, o„rganilgan masalalar faqat qimor 
o„yinlariga tegishli bo„lmasdan, ular chuqur g„oyalarga boy qiziqarli 
fanga asos bo„lishini his qilaman».
Yuqorida nomlari keltirilgan, ehtimollar nazariyasini yuzaga 
kelishida muhim rol o„ynagan olimlar ro„yxatidan ko„rinadiki, ular, 
asosan, fizikada katta ixtirolar kashf qilgan shaxslar bo„lgan. Mashhur 
klassik matematik olimlar D.Gilbert, A.Puankare ham ehtimollar 
nazariyasini fizikadagi mustaqil yo„nalish deb hisoblaganlar. Bu fikr XX 
asrning 30-yillarigacha, to akademik A.N.Kolmogorov ehtimollar 
nazariyasini aniq aksiomalar sistemasi asosida qurish mumkinligini 
isbotlaganiga qadar davom etgan. Ehtimollar nazariyasining fan sifatida 
asrlar davomida shakllanib borishini quyidagicha izohlash mumkin: 
XVII asrda ehtimollar nazariyasining boshlang„ich davri bo„lib, u 
qiziqarli, lekin amaliy ahamiyatga ega bo„lmagan, ko„ngilochar qimor 
o„yinlariga tegishli bo„lgan masalalar majmuasidan iborat bo„lgan. 
XVIII asrda ehtimollar nazariyasini amaliyotda qo„llash mumkinligini 
asoslab beradigan «katta sonlar qonuni» kashf etilgan. Bu qonun 
(teorema) shveytsariyalik olim Yakob Bernulli tomonidan (vafotidan 
so„ng 1713 yilda) chop etilgan. Akademik A.A.Borovkovning fikricha,
Bernullining «katta sonlar qonuni» birinchi «klassik teorema» 
hisoblanib, u hozirgi zamon matematika va mexanikaning asosiy 
yo„nalishlaridan biri «dinamik sistemalar» nazariyasini yuzaga kelishida 
ham asosiy rol o„ynagan. Bu qonunning fizik ma‟nosi quyidagi 
xulosadan iborat: o„rganilayotgan sistemaning vaqt bo„yicha o„rtacha 
holati (bu tasodifiy holat), uning fazoviy o„rtacha holatiga (tasodifiy 
bo„lmagan deterministik holatga) yaqinlashadi. Demak, «katta sonlar 
qonuni» o„rinli bo„lsa, vaqt o„tgan sari tasodifiylik yo„qolib boradi va 
fizik sistemaning limitdagi holati deterministik xarakterda bo„ladi. 
Aytilganlardan ko„rinadiki, agar «katta sonlar qonuni» o„rinli bo„lmasa, 
vaqt o„tgani bilan tasodifiylik yo„qolmaydi va o„rganilayotgan fizik 
sistema uchun turg„unlik (aniqlik, deterministik ) sifat yuzaga kelmaydi.
Umuman 
aytganda, 
ehtimollar 
nazariyasining 
amaliyotda 
o„rganilayotgan sistema uchun qo„llanishi, «katta sonlar qonuni» orqali 
amalga oshiriladi. Aytib o„tilganlardan tashqari, bu asrlarda ehtimollar 
nazariyasining demografiya (aholishunoslik) faniga tegishli bo„lgan 
amaliy masalalarini yechishga tatbiq etila boshlashi, ayniqsa, tasodifiy 
voqealarga bog„liq tasodifiy – sug„urta sistemasining yuzaga kelishi 

---

13 
munosabati bilan (birinchi marta Angliyada dengiz transport 
sistemasida) bu nazariyaning ahamiyati osha boshladi.
XIX asrda ehtimollar nazariyasi fan sifatida e‟tirof etildi. Bu 
jarayonda mashhur matematik olimlardan Laplas va Puassonning roli 
juda salmoqli hisoblanadi. Masalan, ko„p yillar davomida ehtimollar 
nazariyasi bo„yicha yagona darslik hisoblangan «Analitik ehtimollar 
nazariyasi» kitobi Laplas tomonidan 1826-yilda chop etilgan. XIX 
asrning ikkinchi yarmida ehtimollar nizariyasining rivojlanishiga 
mashhur rus matematiklaridan P.L. Chebishev, A.B. Bunyakovskiy, 
A.A. Markovlar katta hissa qo„shganlar. XX asrga kelib ehtimollar 
nazariyasi mustaqil matematik fan sifatida shakllandi. Ayniqsa, bu fanni 
ma‟lum aksiomalar sistemasi (Kolmogorov tomonidan taklif qilingan) 
asosida qurish mumkinligi, aytish mumkinki, u inqilobiy xarakterga ega 
bo„ldi. Bu jarayonda mashhur matematiklar E. Borel (Fransiya), Fon 
Mizes (Germaniya), S.N.Bernshteyn (Rossiya) kabi olimlarning ijodi 
ham katta rol o„ynadi. Ehtimollar nazariyasi aksiomatik fan sifatida tan 
olingandan so„ng, uning ravnaqi uchun keng istiqbollar ochildi. Birinchi 
navbatda uning to„plamlar nazariyasi bilan aloqadorligi, XIX asr 
davomida ehtimollar nazariyasini hozirgi zamon matematikasining eng 
ilg„or yo„nalishlaridan biriga aylantirdi. XX asrning birinchi yarmida 
ehtimollar nazariyasi bilan bir qatorda matematik statistika fani ham 
ro„yobga keldi. Bunda K.Pirson (Angliya), J.Neyman (AQSH), 
N.V.Smirnov (Rossiya), A.N.Kolmogorov (Rossiya) V.I.Romanovskiy 
(O„zbekiston) singari fan arboblarining hissasi juda ham buyukdir. 
O„zbekistonda vatandoshlarimiz akademik olimlar V.I. Romanovskiy 
(1879-1954), T.A. Sarimsoqov (1915-1995), S.X. Sirojiddinov (1920-
1988) asos solgan «ehtimollar nazariyasi va matematik statistika» 
maktabi tashkil topdi va bu maktabda bajarilgan ilmiy tadqiqotlar keng 
jahon matematiklari jamoatchiligi tomonidan e‟tirof etilgan. Hozirgi 
paytda ham O„zbekistonda «Ehtimollar nazariyasi va matematik 
statistika» maktabi doirasida quyidagi: 
a) Tasodifiy miqdorlarni qo„shish nazariyasi va uning tatbiqlari; 
b) Tasodifiy jarayonlar nazariyasi (Markov zanjirlari, tarmoqla-
nuvchi tasodifiy jarayonlar, ommaviy xizmat ko„rsatish nazariyasi va 
boshqalar); 
d) Taqsimotlarning no„malum bo„lgan parametrlarini statistik 
baholash nazariyasi yo„nalishlarida ilmiy tatqiqotlar olib borilmoqda.
Masalan, Markov zanjirlari nazariyasini rivojlantirishga taniqli 
olimlar V.I.Romanoskiy, T.A.Sarimsoqov va S.H.Sirojiddinovlar katta 

---

14 
hissa qo„shdilar hamda limitik teoremalarni Markov zanjirlari sxemasi 
bo„yicha tekshirishda muhim ilmiy natijalarni qo„lga kiritdilar.
Bu tatqiqotlar S.H.Sirojiddinov rahbarligida va bevosita ishtirokida 
taniqli matematiklar S.V.Nagaev, T.A.Azlarov, T.L.Malevich, 
Sh.Q.Farmonov, M.O„.G„ofurov va boshqalar tomonidan bajarildi. 
Hozirda tasodifiy va shoxlanuvchi jarayonlar nazariyasi, ommaviy 
xizmat ko„rsatishning matematik nazariyasi, statistikaning noparametrik 
masalalari bo„yicha katta tatqiqotlar, yuqorida aytib o„tilgan yo„nalishlar 
bo„yicha O„zbekistonda hozirgi zamon ehtimollar nazariyasi va 
matematik statistikaning jahon standartlariga mos keluvchi ilmiy 
tatqiqot ishlari olib borilmoqda. O„zbekistonda matematikaning 
stoxastika yo„nalishini rivojlanishiga katta hissa qo„shgan ilmiy 
dargohlardan biri hozirgi O„zbekiston Milliy universiteti va O„zbekiston 
Fanlar Akademiyasi hisoblanadi. Bu yerda o„tgan asrning yigirmanchi 
yillaridan boshlab respublikamizda matematika yo„nalishida dunyoga 
tanilgan olimlar tarbiya topdi. Professor V.I.Romanovskiy rahbarligida 
bir guruh o„zbek olimlari Qori Niyoziy, T.Sarimsoqov, S.Sirojiddinov 
va boshqa olimlar o„zlarining ilmiy ishlari bilan tanila boshladilar. 
Keyinchalik N.Romanov, L.Volkoviskiy, M.Sultonova, M.Sobirov, 
M.Xojimullaev, M.Solahiddinov, N.Satimov, Sh.Alimov, Sh.Ayupov, 
T.Jo„raev, Sh.Q.Farmonov, M.O„.G„ofurov va boshqalar O„zbekiston 
matematikasini dunyoga tanitdilar.