Учебное пособие Воронеж 2005 А. С. Кольцов Е. Д. Федорков Геометрическое моделирование в сапр

7. СТРУКТУРА ТВЕРДОТЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ

Выбор структуры, или топологии, твердотельной модели определяется способом дальнейшего использования синтезируемой модели. Для внешнего использования (при экспорте в таких форматах обмена данными, как dxf, iges, step и т.д.) топология определяется форматом файла, но, как правило, это одна из реберных поверхностных модели. Для внутреннего использования (приложениями, использующими данную библиотеку) наиболее удобна топология "крылатого" представления (winged-edge representation).

Структурными элементами гранично-заданных моделей являются вершины v, ребра e и грани f. Поскольку для представления поверхности мы будем использовать NURBS поверхности, то, как показывает практика целесообразно использовать обрезанные патчи как показано на рис. 7.

Рис. 7. Усеченный патч
Усекаемая часть патча задается цепочкой плоских кривых (c0-c7), заданный в его области определения (по параметрам s, t). Эти цепочки образуют циклы, направление обхода (по или против часовой стрелки) которых определяет какая часть патча остается, а какая отсекается. В некоторых системах указанные плоские кривые хранятся в двух видах: как алгебраическая и как параметрическая сплайновая кривая. Алгебраическая кривая определяет точное ее уравнение (прямая, дуга), а параметрическая – определяет аппроксимацию этой кривой для единообразия при выполнении операций с моделью. В данной работе аналогом алгебраической кривой является произвольная символьная функция библиотеки. Поэтому двойственность представления будет иметь смысл только для внутреннего использования.
Во многих системах кривые являются линиями пересечения патчей, а вершины – точками пересечения кривых. Так, например, на рис. 8 изображена твердотельная модель цилиндра. Патчи боковой его грани являются полными (без усечения), а верхняя и нижняя грани усеченны цепочками c8-c7-c6-c5 и c1-c2-c3-c4 соответственно.

Рис. 8. Граничное представление твердотельной модели цилиндра

В табл. 2 и 3 для данной модели цилиндра приведены вершинное и "крылатое" представления.

Табл. 2.
Твердотельная модель цилиндра в вершинном представлении

vertex	coordinates	edge	vertices	face	edges
v1	x1, y1, z1	e1	v1, v2	f1	e4, e9, e8, e10
v2	x2, y2, z2	e2	v2, v3	f2	e3, e12, e7, e9
v3	x3, y3, z3	e3	v3, v4	f3	e2, e11, e6, e12
v4	x4, y4, z4	e4	v1, v4	f4	e1, e10, e5, e11
v5	x5, y5, z5	e5	v6, v5	f5	e1, e2, e3, e4
v6	x6, y6, z6	e6	v7, v6	f6	e8, e7, e6, e5
v7	x7, y7, z7	e7	v8, v7
v8	x8, y8, z8	e8	v5, v8
		e9	v4, v8
		e10	v1, v5
		e11	v2, v6
		e12	v3, v7

Табл. 3.
Твердотельная модель цилиндра в "крылатом" представлении

edge	vstart	vend	ncw	nccw	vertex	coordinates	face	first edge	sign
v1	v1	v2	e2	e10	v1	x1, y1, z1	f1	e8	-
v2	v2	v3	e3	e11	v2	x2, y2, z2	f2	e3	-
v3	v3	v4	e4	e12	v3	x3, y3, z3	f3	e2	-
v4	v1	v4	e1	e9	v4	x4, y4, z4	f4	e1	-
v5	v6	v5	e8	e11	v5	x5, y5, z5	f5	e1	+
v6	v7	v6	e5	e12	v6	x6, y6, z6	f6	e5	+
v7	v8	v7	e6	e9	v7	x7, y7, z7
v8	v5	v8	e7	e10	v8	x8, y8, z8
v9	v4	v8	e8	e3
v10	v1	v5	e5	e4
v11	v2	v6	e6	e1
v12	v3	v7	e7	e2

8. СИНТЕЗ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО ПРОЦЕДУРНОМУ ОПИСАНИЮ

В современных системах геометрического моделирования сформировались следующие способы синтеза твердотельных моделей:

• 
  за основу берется конкретный примитив (параллелепипед, цилиндр, шар);
  
• 
  из других твердотельных моделей (операции булевых сочетаний, модификация граней, фаски) и их частей (выдавливание, вращение грани);
  
• 
  из кривых с помощью процедурных методов.
  

В данной работе имеет смысл использовать только последний способ. Наиболее распространенными процедурными методами синтеза являются:

• 
  выдавливание плоской кривой по направлению;
  
• 
  вращение плоской кривой вокруг оси;
  
• 
  лофтинг интерполяция поверхности между плоскими замкнутыми кривыми (профили, сечения, образующие);
  
• 
  протягивание плоской кривой (профиль, или образующая) вдоль плоской или пространственной кривой (путь, или направляющая).
  

Рассмотрим принципы синтез твердотельных моделей на примере двух первых, наиболее простых методах.
В каждом случае на кривые, участвующие в синтезе, налагаются определенные ограничения во избежание получения топологически некорректных многосложных моделей.
Тело выдавливания, как видно из рис. 9, образуется из двух усеченных плоских патчей (f₁ и f₂) и неусеченных патчей, составляющих боковую поверхность тела. Отсюда очевидны два необходимых условия:

• 
  образующий контур c (цепочка кривых) не должен иметь самопересечений;
  
• 
  образующий контур должен быть замкнут;
  
• 
  направление выдавливания d не должно быть параллельно плоскости образующего контура c.
  

Рис. 9. Тело выдавливания

Тело вращения можно построить двумя способами: путем полного обращения образующей вокруг оси (рис. 10, а) и неполного обращения (рис. 10, б). В первом случае боковая поверхность может быть представлена с помощью одного полного (неусеченного) патча и двух (верхний и нижний) усеченных патчей. Во втором случае добавляется еще два усеченных патча f3 и f4.

Рис. 10. Тела вращения: а – полный оборот, б – неполный оборот

Поскольку при построении будут получены конические кривые (с1) и поверхности (f2), то в целях точности целесообразно их построения осуществлять по специальным алгоритмам с использованием весов NURBS.

Для соблюдения правильности топологии должны выполняться следующие условия:
- образующая не должна пересекать ось вращения;
- образующая не должна пересекать саму себя.
Пример использования произвольной параметрической поверхности для построения твердотельной модели проиллюстрирован на рис. 11.

Рис. 11. Твердое тело как параллелепипед, ограниченный параметрической поверхностью

Здесь твердотельная модель состоит из:

• 
  неусеченной поверхности f1 как NURBS-аппроксимация графика функции двух переменных;
  
• 
  плоской прямоугольной неусеченной грани f2;
  
• 
  четырех боковых неусеченных граней f3-f6.