Урганч давлат университети р. М. Мадрахимов, С. А. Имомкулов, Б. И. Абдуллаев, Ж. Р. Ярметов

3. Доиравийлик хоссаси
Теорема-1. Ихтиёрий каср-чизикли акслантириш даги ихтиёрий айлана ёки тугри чизикни даги айлана ёки тугри чизикка акслантиради.
Исбот: с=0 булганда чизикли акслантириш учун теорема исбот. Агар с0 булса у холда
(4)
каср-чизикли функциянинг унга эквивалент булган бир нечта функция билан алмаштирамиз
(*)
чунки

бунда

(*) да биринчи, учинчи холларда айлана ёки тугри чизик, айлана ёки тугри чизикка утади.

учун исботлаймиз
Соддалик учун
(5)
деб белгилаймиз.
Маълумки, R² текисликда
Е(х²+y²)+2Bx+2Cy+D=0 (6)
тенглама айланани, агар Е=0 булса, тугри чизикни ифодалайди.
Агар

булишини эътиборга олсак, у холда (6) тенглик
(7)
куринишга келади, бунда F=B+iC
(7) айлананинг образини хосил килиш учун (5)да деб (7) га куйсак,
(8)
Бу (8) тенглама хам да айлана ёки тугри чизикни ифодалайди.
Таъриф: Агар z ва z^* нукталар Г={zC_z:|z-z₀|=r}
aйлана марказидан чиккан битта нурда ётиб, бу нукталардан айлана марказигача булган масофалар купайтмаси айлана радиуси квадратига тенг булса, z ва z^* нукталар Г айланага нисбатан симметрик нукталар дейилади.




Равшанки бу холда
arg(z^*-z₀)=arg(z-z₀)
|z^*-z₀| |z-z₀|=r²
булиб,

булади.
Теорема-2: Ихтиёрий каср-чизикли акслантириш даги ихтиёрий Г айланага нисбатан симметрик z ва z^* нукталарни шу айлананинг образига нисбатан симметрик булган w ва w^* нукталарга акслантиради.
Исботи: (мустакил).
акслантиришда а0 булсин. Ухолда

деб ёзиш мумкин.
Соддалик учун
(9)
деб ёзиб оламиз.
Куйидаги масалани караймиз. текисликдаги z₁,z₂,z₃ нукталарни текисликдаги  w₁,w₂,w₃ нукталарга мос куйувчи каср-чизикли акслантириш топилсин.

тенгликлардан b,c,d ларни топиб (9) га куйсак, изланаётган функция аникланади. Лекин бу йул узок булгани учун бошкача иш курамиз.

муносабатларга эга буламиз. Бу муносабатлардан фойдаланиб,

муносабатни хосил киламиз. Бу муносабатга ангармоник муносабат дейилади.
(10)
(10) 3 та нуктани 3 та нуктага акслантирадиган формула. Демак, куидаги теорема исбот булди.
Теорема: * текисликдаги z₁,z₂,z₃ нукталарни * текисликдаги
W₁,W₂,W₃ нукталарга акслантирувчи каср-чизикли акслантириш мавжуд ва ягонадир.