Урганч давлат университети р. М. Мадрахимов, С. А. Имомкулов, Б. И. Абдуллаев, Ж. Р. Ярметов

Таянч иборалар: интеграл таърифи, интегралнинг мавжудлиги, интегрални хоссалари, интегрални хисоблаш. Голоморф функция, бир богламли соха, силлик чизик, ёпик чизик, интеграл, ориентирланган йуналиши.


Уз-узини текшириш учун саволлар:

1. 
   Коши теоремасини айтинг.
   
2. 
   Умумлашган Коши теоремасини айтинг.
   
3. 
   Куп богламли соха учун Коши теоремасини айтинг.
   

Адабиётлар: [1] 101-117 бетлар, [2] 68-75 бетлар, [3] 111-134 бетлар, [4] 81-87 бетлар, [5] 143-155 бетлар.
11-Маъруза.

БОШЛАНГИЧ ФУНКЦИЯ ТУШУНЧАСИ. КОШИНИНГ ИНТЕГРАЛ ФОРМУЛАСИ.

Фараз килайлик функция сохада ( ) аникланган булсин.

Таъриф. Агар сохада функция шу сохада голоморф булган F(z) функциянинг хосиласига тенг булса, яъни

булса, у холда функция сохада функциянинг бошлангич функцияси дейилади.
Агар сохада функция функциянинг бошлангич функцияси булса, +с. (с-ихтиёрий узгармас сон) функциянинг бошлангич функцияси булади.
Хакиккатан хам

Теорема: Агар f(x) функция бир богламли сохада ( С_z) голоморф булса, у холда f(x)функция шу сохада бошлангич функцияга эга булади.
Исбот: сохада z₀ ихтиёрий z нукталарни олиб, уларни шу сохада ётувчи силлик (булакли силлик) чизик билан бирлаштирамиз.
Унда

интеграл z га боглик булади. Уни F(z) оркали белгилаймиз:
(1)
Коши теоремасининг натижасига кура бу интеграл интеграллаш йулига боглик булмайди. Бинобарин, F(z)функция сохада кийматли аникланади.
Энди (1) функция сохада берилган f(z)функциянинг бошлангич функцияси булишини курсатамиз.
z нуктага шундай ортирма берайликки, нукта z нуктанинг сохага тегишли етарлича кичик атрофида ётса. У холда F(z) функция ортирмаси учун куйидагига эга буламиз.

Бу тенгликнинг хар икки томонини га буламиз:
(2)
Равшанки

яъни
(3)
булади.
(2) ва (3) дан фодаланиб

ифодани топамиз.
Кейинги тенгсизликдан
(4)
булиши келиб чикади.
Яна Коши теоремасининг натижасидан фойдаланиб, z ва нукталарини бирлаштирувчи ва сохада ётувчи чизик сифатида шу нукталарни бирлаштирувчи кесмани оламиз. Унда нинг нимага тегишли булишидан
ушбу

тенгсизликка эга буламиз.
функция z нуктада узлуксиз. Демак, сон олинганда хам шундай сон топиладики, булганда

булади. Шуни эътиборга олиб (4) дан топамиз:

Демак,

Бундан эса

яъни

булиши келиб чикади.
Айтайлик F₁(z) ва F₂(z) функцияларнинг хар бири сохага битта f(z) функция учун бошлангич функция булсин. Унда F₁(z) ва F₂(z) фунцкиялар сохада бир-биридан узгармас сонга фарк килади. Хакикатан хам,

булганлигидан

функция учун

булади. Агар дейилса,
унда

булиб, Ф(z) функциянинг узгармас эканлиги кели чикади.
Демак,

яъни

булади.
Н а т и ж а: Фараз килайлик, f(z) функция бир богламли сохада ( С_z) голоморф булсин.