Урганч давлат университети р. М. Мадрахимов, С. А. Имомкулов, Б. И. Абдуллаев, Ж. Р. Ярметов

Натижада куйидаги муносабатга келамиз

Равшанки,

бу тенгсизликнинг унг тамонидаги кушилувчилардан камида биттаси дан кичик булмайди, шу учбурчакни деб белгилаймиз, яъни


- учбурчакнинг периметри га тенг.
Энди учбурчакка юкоридаги усул билан яна 4 та
учбурчакларга ажратамиз. Бу учбурчаклар орасида шундай учбурчакнинг периметри га тенг.
Бу жараённи чексиз давом эттира борамиз.
Натижада: учбурчаклар кетма-кетлиги хосил булади. Бу учбурчаклар кетма-кетлиги учун:

1. 
   
   
2. 
   учбурчакнинг периметри га тенг ва да
   
3. 
   х
   ар бир (n=1,2,…) учбурчак учун
   

булади.

1. 
   ва 2) тасдиклардан барча учбурчакларга тегишли булган ягона нукта мавжуд булиши келиб чикади.
   

Шартларга кура f(z) функция нуктада голоморф. Демак, сон олинганда хам шундай сон топиладики,

тенгсизликни каноатлантирувчи барча z лар учун

яъни

булади.
Энди биз биламизки

ва n нинг етарли катта кийматларида
булади.
Демак,

1. 
   ва (2) дан
   

булиши келиб чикади. Демак ,
.
Бу тенгсизлик M>0 деб килинган фаразга зид. (чунки ихтиёрий мусбат сон). Зиддиятлик булмаслиги учун M=0 булиши керак.

Шундай килиб М=0, яъни

булади.
2) Г эгри чизик купбурчак контуридан иборат булсин: Г=Р
Равшанки. Купбурчак чекли сондаги учбурчакларга ажралади ва

интеграл эса бу учбурчаклар буйича олинган интеграллр йигиндисига тенг блади. Учбурчалари буйича олинган интегралларнинг хар бири 1) холга биноан нолга тенг булади.
Бинобарин,

булади.
3) Г эгри чизик ихтиёрий силлик (булакли силлик) ёпик эгри чизик булсин. Интегралнинг 6-хоссасига кура D сохага тегишли булган шундай Р купбурчак топиладики,
булади, бунда ихтиёрий мусбат сон 2) холга биноан

демак,

бундан эса

булиши келиб чикади. Теорема тулик исбот булди.
Натижа1. Агар f(z) функция бир богламли D сохада голоморф булса, у холда f(z) функциянинг интеграли интеграллаш эгри чизигига боглик булмайди, яъни бошлангичва охирги нукталари умумий хамда D сохада ётувчи ва эгри чизиклар учун

булади.
2. Коши теоремасини умумлаштириш.
Айтайлик, D чегарланган бир богламли соха булиб, унинг чегараси силлик (булакли силлик) ёпик эгри чизикдан иборат булсин.
Теорема: Агар булса, у холда

булади.
Бу ерда ни йуналиши мусбат йуналиш. соха берилган булсин. D соха чегараси ни ориентирланган йуналиш деб шундай йуналишга айтиладики, бу йуналиш буйича чегарада харакат килганда соха хар доир чап тасонда колади.
Теорема: (Куп богламли соха учун Коши теоремаси)
Агар f(z) функция куп богламли D сохада голоморф ва да узлуксиз булса, у холда

булади.
Бу ерда интеграл чегарани ориентирланган йуналиши буйича олиняпти.