Узбекистон республикаси олий ва урта махсус таълим вазир

Позицион тизим
Укувчилар арифметикани урганиб борган давом эттирган сари улар учун позицион тизим тушунчасини билиб олишнинг ахамияти бекиёс ортиб боради.
Математикани урганишда бурилиш даври булган бу даврни тугри бахолаш учун аввало укитувчининг узига-узи хисоб бериши керакки, бу уринда гап сонларни нафакат тугри ёза билишда, шу билан бирга амалларни ёзма равишда бажариш асослари хамда унлик бирликларини номерлай билишда хамдир. Олий даражада бирлик паст даражадаги 1 бирликга эга эканлигини билиш мутлако етарли эмас (бу хакда болалар биринчи синфданок кисман маълумот оладилар), улар айни пайтда факат позицион тизимгина унлик тизимидан тулик фойдаланиш мумкинлигини аник тасаввур кила билишлари керак. Одатда, бу икки позицион ва унлик тизим бизнинг онгизимизда шу кадар узвий богланиб колганки, буларнинг фаркини ажратиш учун фикрлашга тугри келади. Огзаки номерлашда сонларнинг талаффуз этилишига алохида эътибор берилиш керак. Чуннончи, ун икки ун учинчи, йигирма йигирманчи, уттиз уттизинчи , эллик эллигинчи.
Сонларни ёзувда ифодалашга аста секин киришамиз. Болалар урганиб олишлари лозим булган нарсага эмас, балки кандай хулосага келиш лозим булган нарсага тухталамиз. Улар ракам билан ифодаланган соннинг киймати шу ракам турган жойга богликлигини тушунишлари керак. Бу далилни аник-равшан тушуниб олиш учун ракам билан сон уртасидаги фаркни аник равшан билиш керак. Болалар бу машгулотларнинг сонларни ракам билан ёзишдан эмас, балки сонларни рангли ракамларни картонга ёпиштиришдан бошлайдилар. Нега? Чунки бола “Йигирма”-20 ни ёзишни билгани билан “Йигирма турт” ни -204 деб ёзиб куйиши хам мумкин. Бундан ташкари, яхши урганмаган одам “бир юз йигирма турт” ни 10024 деб ёзиши хам мумкин.
Катта сонлар харфлар билан ифодаланган булиб, минг сузи урнига харфнинг чапдан куйи кисмига белги куйилган.


35




10000 сони х,ам 1 сони каби уша харф билан ифодаланиб, факат титл куйилмаган, лекин у доирача билан ураб олинган.
Катта сонларни ёзиш учун бошка белгилар куланилган.
Бу тизимда жуда куп халклар: араблар, арманлар, грузинлар, славянлар ва бошка халклар фойдаланишган. Турли даврда ва турли халкларда арифметиканинг мазмуни бир хил булмагинидек, арифметика амал тушунчаси хам хар хил булган. Масалан, Хиндлар арифметик асарида олтита арифметик амал кушиш ва айириш, купайтириш, булиш, даражага кутариш ва илдиз чикаришни ишлатганлар. Урта аср Шарк математиклари хиндлардаги олтита арифметик амалга иккилантириш ва яримлантириш амалини хам киритганлар. Шарк математиклари арифметик саккизта амалини ишлатганлар.
Шарк математиклари ишлатиб келган арифметик амал иккилантириш ва яримлатиш, кадимий мисриклардан бошлаб амал хисобланган. Улар купайтириш булиш ва айиришни алохида амал хисобламасдан, бу аммаларни кушиш, иккилантириш ва яримлатиш амаллари билан бажарганлар. Бизга маълумки, хинд арифметикасида иккинлантириш ва яримлатиш булмаган. Лекин Хинд арифметикасини таргиб килувчи Хоразмий узининг асарида иккилантириш ва яримлатишни алохида амал хисоблайди. Хоразмий бутун сонлар устида амаллар бажаришни биринчи навбатда иккилантириш ва яримлатиш амалидан бошламасдан, кушиш ва айиришдан сунг давом этган. Насриддин Тусий, Нишопурий, Коший ва улардан кейинги олимлар бутун сонлар устидаги амалларни бадарини биринчи навбатда иккилантириш ва яримлатиш амалидан бошлайдилар. Урта аср Шарк математиклари арифметик амалларни икки хил “сатх” ва “жадвал” усулида бажараганлар. Хоразмий, Насавий ва Тусийлар амалларни “хисоблаш тахтаси” да оралигидан ракамларни учириб урнига ёзиш билан бажарадилар. Маълум даврдан сунг “хисоблаш тахтаси” нинг такомилашган куриниши “сатх” усулига айланган.
Урта Осиё математикларидан Нишопурий, Коший, амалларни “жадвал” усулида бажарадилар. Сатх ва “жадвал” усулларини мазмун жихатидан бир хил булиб, амалларни бажаришда, ораликдаги ёрдамчи хисоблашлашларда ракамларнинг жойлашиш шакли билан бир -биридан фарк килади. Бу усулда амал бажариш Урта Осиё мадрасаларидан ХХ асргача давом этади.
Хоразмий арифметик асарининг XIV асрдаги лотинча таржимасида амалларни таърифи берилмайди. Насриддин Тусий хар бир амалнинг бажарилишини усулини курсатишдан аввал шу амалларга киска ва тушунарли таъриф беради. У амалларнинг бажарилиши усулини тулик умумий куринишда бергандан сунг мисол келтиради. Тусий Урта аср Шарк математикларининг одатича суз билан берилган таъриф ва коидаларнинг
36




киска ва тушунарли булишига катта ахамият беради. Масалан, у икилантириш ва яримлатиш амалларига шундай таъриф беради: иккилантириш амали тариф деб, бирор сонни урнига тенг булган сонга кушишга айтилади. Яримлатиш амали амали тасниф терилган сондан унинг ярмини айиришдир.
Насриддин Коший ва Нишопурийнинг бир ярим аср кейин Жамшид Коший сонларни иккилантиришда берилган соннинг куйи хонасидан бошлаб бажаришни тавсия килади. Берилган соннинг ракамларини иккилантиришда хосл булган унликлар, яримлатишда эса колдикнинг ярими дилда сакланиб, тегишлича хоналарга огзаки кушилади ва натижада берилган соннинг тагига ёзилади. Масалан: у 652078 ни иккилантириш ва 4090527 ни яримлатишни ушбу куринишда ёзади.
Иккилантириш Яримлатиш
652078 4090527
1304156 5045263
Урта Осиёда бир гурух математиклар кушишни биринчи амал хисоблайдилар.Унинг мохияти ва бажарилиши усулини тушунтирадилар. Айириш амалини эса кушишнинг тескариси деб хисоблайдилар. Насриддин Тусий кушиш ва айириш амалларига куйидагича таъриф беради: “^ушиш бирор соннинг бирликлари устига иккинчи соннинг бирликларини ортиришдир. ^ушиш амали кушилувчиларнинг йигиндисини топиш демакдир. Айириш катта соннинг кичик сонда камайтиришдир. Берилган икки соннинг фаркини топиш айириш амали дейилади”. Насриддин Тусий иккинчи коида билан кушиш амалини бажаришни куйидагича баён этади: икки ва ундан ортик сонларни кушишда, бу сонларни тартиб билан хоналари буйича бир- бирининг тагига жойлаштириб, сунг хар бир хонадаги ракамларни кушиш кераклиги, агар хоналардаги ракамларнинг йигиндиси ун ёки ундан ортик булса, кушилувчи ракамлар тагига ноль ёки йигиндисининг бирликларини ёзишни, унлар хонасидаги ракамни кушишни юкори хонадаги йигиндига ёзиб ёки дилда кушиш кераклигини уктиради. Сунгра бу йул билан унг ва чапдан бошлаб кушишни мисолда курсатади. Масалан, 12503 ни 9867 га кушишни шундай куринишда ёзади.


9867 125403

11. 
    1 124260
    

3 5 7 Хосил:135270


37

Айирилувчи	7026
Камаювчи	985792
Айирма	988766

Демак, Тусий, Нишопурий ва Кошийлар кушиш ва айириш усуллари ичида бу усул энг тушунарли эканини кайд этадилар.Бу усул шу кунгача сакланиб колган. купайтириш амали ва унинг бажарилиш усуллари. Урта Осиё математиклари, масалан Хоразмий, Тусий, Нишопурий, Коший, Али ^увосий ва бошкалар купайтириш амалига ташки куринишда кисман фарк килувчи мазмун жихатидан эса бир хил булган икки хил таъриф берадилар.
Насриддин Тусий купайтириш хамма вакт икки сон оркали бажарилишин уктириб ва булардан бирини купаювчи /мазруб/, иккинчисини купаювчи/магзуб фихи/номи билан атаб, шундай таъриф беради: купайтириш бутун сонларни кушиши амалидир, яъни купаювчини купайтиришнинг бирлиги кадар такрорлаб кушишдир. Тусий уз таърифининг мамунини тушунтириш учун бир хонали сонларни купайтиришга мисоллар келтиради. Масалан: 3 ни 4 га купайтириш бу 3 ни 4 марта ёки 4 ни 3 марта такрорлаб кушиш.
3х4=3+3+3+3=12


38




ёки эканлигини суз билан тушунтиради.
3х4=4+4+4=12
Урта аср Шарк арифметикасида купайтириш амали кушиш ва айириш каби асосий амал хисобланиб, бу амални бажаришнинг турлича усуллари бошка амалларга нисбатан жуда куп. Купайтиришнинг хозирги купайтириш усулига якин усулини кадимги хиндлар яратганлар. Мухаммад Хоразмий арифметикага доир асарида, хиндларнинг купайтириш усулини методик жихатидан тушунарли килиб беради, яъни хар бир хусусий купайтмани купаювчининг ракамларини учириб ёзади. Насафий ва Насриддин Тусийлар хам куп хонали сонни куп хонали сонга купайтиришни Мухаммад Хоразмий йули билан баён этадилар. Кейинги даврларда мадрасаларда укитиладиган дарсликларни купайтириш Хоразмий, Насафий ва Тусийлар усулида хисоблаш тахтасида бажарилиб натижа купаювчининг ракамларини учириб урнига ёзилмасдан, ораликдаги хисоблаш когозда курасатилади.
Европада немис ва итальян педагоглари [VI-[VII асрларда турли геометрик бурчак: учбурчак ва ромба хокозо) шаклда купайтириш усулларини курастаган булсалар, Урта Осиё математиклари эса гемоетрик шаклда купайтириш усулларини жадвалда купайтириш номи билан беради.
Коший “Тур ичида купайтириш” номи билан Тусийнинг “Жадвалда купайтириш” усулига кисман узгариш киритади, яъни жадвалдаги квадратларни диагонал билан юкори ва куйи бурчакли учубрчакларга булади. Жадвал тугри бурчакнинг чапдан энига ва буйича купайтиувчи хамда купаювчи юкори хонасида нбошлаб ёзилади. Амал купайтувчиларнинг юкори ва куйи хонасидан бошлаб бажарилади. Хусусий купайтмаларнинг бирликлари куйи, унликлари юкори учбурчакларга ёзилади. Купайтманинг ракамлари туртбурчакнинг пастки учидан диагонал буйича хусусий купайтмалар ракамларни кушиш билан топилади. Бу ракамлар туртбурчак тагига унгдан бошлаб ёзилади. Масалан:7806 ни 175 га купайтириш шундай бажарилади. Амални бажаришда биринчи навбатда купаювчининг мингликлари (7) 175 га юкори хонасидан бошлаб купайтирилади.
купайтма (1х7=7,7х7=49ва 5х7=35) лар 1 ва 77 ва 7,5 ва 7 ларнинг тугрисидаги учбурчакларга ёзилади.
Сунгра 175 ни 8 га 0 га 6 га купайтмалари хам шу тарзда жойлаштирилади. Жадвалнинг пастки унг томонидаги квадратнинг диагонали буйича кушилса изланган купайтма 1 365050 хосил булади.
Тур усулида купайтиришни XII асрда яшаган математиги Бхаскара ва Кошийлар бу усулнинг такомилашган куринишини берадилар, яъни купайтманинг ракамларини


39




топишда кулай булишини назарда тутиб диагонлларни тескари йуналишда чизади ва купайтмани туртбурча ктагига ёзиб курсатади.