Va komunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi toshkent axborot texnalogiyalari universiteti

2-misol. Donni tozalash texnologik liniyasini avtomatik boshqarish sxemasining ishlamay qolish sababi texnologik liniyada foydalanilayotgan N ta relelardan bittasining ishdan chiqishidir. Sxemaning ishlashi uchun N ta rele har birini navbatma-navbat tekshirib ko‘riladi. N ta relening hammasini ishdan chiqish ehtimolliligi bir xil deb qarab, N ta reledan n tasini tekshirib ko‘rish ehtimolligini aniqlaymiz (1  n  N).
Yechish. I sonli releni ish holatida (soz) bo‘lish voqeligini À_i deb qarab chiqamiz.
Avtomatik boshqarish sxemani N ta relesidan (elementidan) bittasi nosoz qolgan N–1 ta soz holatida:

Ð(À ₁)=
N 1

N
, Ð(Â )=1–Ð(À )= ¹ .
1 1 _N

Bitta releni tekshirishga to‘g‘ri kelishning ehtimolligini quyidagicha ifodalaymiz:
ð =Ð( A )= ¹ .

1 _N
Ikkita releni tekshirishga to‘g‘ri kelish ehtimolligi r₂ ni topish uchun, avvalo, birinchi rele soz (ish holatida) bo‘lganda qolgan (N–1) relelar orasida bitta nosoz rele borligini tekshirish, binobarin:

Ð( A
₂|À
)= ¹ .
¹ 1N

1
Ehtimolliklarni ko‘paytirish teoremasiga asosan:

^{ð =Ð(} A <sup>À )=Ð(À


)Ð(</sup> A ^|À
₎₌ N 1 _ 1 _{ .}

² 1 ^2
1 2 ¹
N N 1 N

1
Yuqoridagi tartibda ð₃, ..., ð_n larni topamiz:

ð =P(À À

1. 
   ^{)=P(À )P(} A ^| A ^)P( A ^| A
   

_{A )=} N 1 _ N 2 _ 1 _{ ;}

^{3 1 2} 3
¹ 2 1
1

3 1 2
N N 1
N 2 N

^{ðn=Ð(À 1À2...Àn-1} A_n ⁾⁼ _N ^.

Qo‘shishning umumlashgan teoremasi

A va B voqeliklarni birgalikda sodir bo‘lish mumkin deb qarab, ularni yig‘indisi C=A+B ehtimolligini topish kerak. Sodir bo‘lishi (yuzaga kelishi) mumkin bo‘lgan n natijalardan A voqelikka m₁ tasi B voqelikka m₂ tasi sharoit yaratib beradi. A va B voqeliklar qo‘shma bo‘lganligi uchun ularni sodir bo‘lishiga sharoit yaratib beruvchi m₁ va m₂ natijalar orasida A va

4.3-rasm. Ehtimolliklarni qo‘shish umumiy teoremasiga oid.

2. 
   voqeliklarni bir yo‘la sodir bo‘lishiga olib keluvchi (sharoit yaratib beruvchi) m₃ natijalar mavjud, ya’ni C voqelikni yuzaga keltiruvchi
   

natijalar m=m₁+m₂–m₃ tenglama orqali ifoda- lanadi.
Binobarin:
_{P (C ) } m₁ m₂ m_{3 } m_{1 } m_{2 } m₃

12. 
    n n n
    

yoki Ð(À+Â)=Ð(À)+Ð(Â)–Ð(ÀÂ).

Ikkita qo‘shma voqeliklardan bittasining, A yoki B ning, yuzaga kelish ehtimolligi ularning birgalikda sodir bo‘lishi (yuzaga kelishi) ehtimolligisiz A va B voqeliklarni sodir bo‘lish ehtimolliklari yig‘indisiga teng (4.3- rasm). 3-misol. 380 V li elektr tarmoqqa elektr dvigatel va yoritish lampalari
ulangan (4.4- rasm).
Elektr motor (kuch yuklama) barcha simlarda bir xil yuklama hosil qiladi va ularning yuzaga kelish ehtimolligi 4.1-jadvalda keltirilgan.

4.1-jadval

Р, kVt	10	8	6	4	2	0
Ehtimolligi	0,6	0,2	0,1	0,05	0,03	0,02

Yoritish yuklama elektr lampalar tomonidan A, B, C fazalarda yuzaga keladigan yuklamalar interval qatori 4.2- jadvalda keltirilgan.

4.4- rasm. Elektr tarmoqqa elektr dvigatel va yoritish lampalarining ulanish sxemasi.

4.2-jadval

Faza	Yuklama intervallari, kVt
	10–8	8–6	6–4	4–2	2–0
А	0,7	0,1	0,1	0,06	0,04
В	0,5	0,25	0,25	0,03	0,02
С	0,6	0,2	0,15	0,04	0,01

Bitta fazaga to‘g‘ri keladigan yuklamalar ehtimolligi o‘rtacha qiymatini aniqlang.
Yechish. Fazalar bo‘yicha umumiy yuklama taqsimlanishini topamiz. Buning uchun 4.1- va 4.2-jadvallarda keltirilgan elektr yoritgichlar va dvigatellar quvvatlari va ehtimollik ko‘rsatkichlari ko‘paytmasi yig‘indilarini fazalar bo‘yicha taqsimlab chiqamiz (4.3-jadval).
4.3-jadval

Faza	Yuklama intervallari, kVt
	0–18	8–16	6–14	4–12	12–10	10–8	8–6	6–4	4–2	–0
А	0,42	0,2	0,15	0,101	0,072	0,036	0,012	0,006	0,002	0,001
В	0,3	0,25	0,22	0,112	0,058	0,036	0,016	0,006	0,002	0,0
С	0,36	0,24	0,19	0,103	0,057	0,032	0,012	0,005	0,001	0,0
O‘rtacha ehtimol- lik	0,36	0,23	0,187	0,105	0,0623	0,0347	0,0133	0,0057	0,0017	0,003

4.3-jadvaldan ko‘rinib turibdiki, fazalarga to‘g‘ri keladigan yuklamalar bir-biridan juda ham kam farq qiladi., Demak fazalar assimmetriyasi yo‘q, degan xulosaga kelamiz.
Ushbu amalni bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan voqeliklarning (elektr yorit- gich yuklamalar sodir bo‘lishi – A voqelik va kuch yuklamalarining sodir bo‘lishi – B voqelik) sodir bo‘lish ehtimolliklarini ko‘paytirish teoremasini va bir biriga mos kelmaydigan voqeliklarning sodir bo‘lishini qo‘shish teoremasini qo‘llab bajaramiz. Masalan, A faza yuklamasining 18–16 kVt oralig‘ida sodir bo‘lish ehtimolligi yoritish va kuch yuklamalarining ikki xil qiymatida yuzaga keladi (4.4-jadvalning 2- va 3-ustunlari). A fazaga to‘g‘ri keladigan yuklamalar ehtimolligi 0,20 ga teng ekan.
4.4-jadval

Interval	Kuch yuklama	Elektr yoritgich, kVt	Ehtimolligi		^Рkuch^·^Рyorit
			^Рkuch	^Рyorit
18–16	10 8	8–6 10–8	0,6 0,2	0,1 0,7		0,06 0,14
Umumiy ehtimollik						0,20

To‘la ehtimollik, gipoteza teoremasi

Qishloq xo‘jalik mahsulotlarini ishlab chiqish va qayta ishlash texnologik liniyalarda u yoki bu texnologik qurilmani ishdan chiqishi texnologik liniyani to‘xtab qolish ehtimolligini ortishiga olib keladi. Bunday holda ayrim texnologik uskunalarni ishdan chiqish ehtimolligini hisobga olgan holda liniyani to‘xtamasdan ishlash ehtimolligini va uni texnologik jarayonni amalga oshirishga ta’sirini aniqlash zaruriyati yuzaga keladi. Shunga o‘xshash masalaga texnologik jarayonni rostlashning murakkab tizimlarini tahlil qilishda ham duch kelamiz. Tizimdagi ishdan chiqish ehtimolligi turlicha bo‘lgan ayrim rostlagichlarni buzilishini tizimga va jarayonga ta’sirini tahlil qilish zaruriyati tug‘iladi. Bunday holda, tizimda bevosita yuzaga keladigan voqeliklarning (A) ehtimolligini topish murakkab bo‘lib, A voqelikning voqeliklarning to‘la guruhini tashkil etuvchi birgalikda sodir bo‘lmaydigan voqeliklarga nisbatan nisbiy ehtimolligi topiladi.

n

Ushbu masalani yechishda qo‘shish va ko‘paytirish teoremalarini birlashtiruvchi to‘la ehtimollik formulasidan foydalaniladi. Biron bir A voqe- lik, bir nechta birgalikda sodir bo‘lmaydigan va yagona sodir bo‘ladigan voqeliklardan tashkil topgan Í₁, Í₂, ..., Í_n voqeliklar to‘la guruhini tashkil
etadi va _ ^{P (Hi )  1} . Bu voqeliklarni A voqelik uchun gipoteza deb yurita-
i 1
miz. A voqelik ehtimolligini to‘la ehtimollik formulasi bo‘yicha quyidagicha

n

aniqlaymiz:
^{P (A) } _ ^{P (Hi )P (A/Hi )} .
i 1
4-misol. Avtomatik boshqaruv qurilmasi ikkita rostlagich yordamida ishlaydi. Qurilmaning buzilish ehtimoli:

• 
  ikkala rostlagich soz bo‘lganda q_1,2=0,01;
  
• 
  birinchi rostlagich soz bo‘lganda q₁=0,10;
  
• 
  ikkinchi rostlagich soz bo‘lganda q₂=0,20;
  
• 
  ikkalasi buzilganda q₀=0,60.
  

Rostlagichlarning buzilmasdan ishlash ehtimolligi:

• 
  birinchisiniki ð₁=0,95;
  
• 
  ikkinchisiniki ð₂ =0,90.
  

Qurilma avtomatik elementlarining ishlashi bir-biri bilan bog‘liq emas. Qurilmani buzilmasdan ishlash ehtimolligini aniqlang (A voqelik ehtimolligi).
Yechish. Quyidagi gipotezalarni ko‘rib chiqamiz:
Í_1,2 – ikkala rostlagich ham soz holatda;
Í₁ – birinchi rostlagich soz holatda (ikkinchisi nosoz holatda);
Í₂ – ikkinchi rostlagich soz holatda (birinchisi nosoz holatda);
Í₀ – ikkala rostlagich ham nosoz holatda. Gipotezalar ehtimolligi:
Ð(Í_1,2)=ð₁ð₂; Ð(Í₁)=ð₁(1–ð₂);
Ð(Í₂)=ð₂(1–ð₁); Ð(Í₀)=(1–ð₁)(1–ð₂).
Qabul qilingan gipotezalar uchun A voqelikning shartli ehtimolliklari:
Ð(À |Í_1,2)=1–q_1,2;
Ð(À |Í₁)=1–q₁;
Ð(À |Í₂)=1–q₂;
Ð(À |Í₀)=1–q₀.
A voqelikning to‘la ehtimolligi topamiz:
Ð(À)=ð₁ð₂(1–q_1,2)+ð₁(1–ð₂)(1–q₁)+ð₂(1–ð₁)(1–q₂)+(1+ð₁)(1–q₀).
Hisoblash natijalari 4.5-jadvalda keltirilgan.
4.5-jadval

Ehtimollik			Shartli ehtimollik Р(А| Н)		To‘la ehtimollik
Qurilmaning ishdan chiqishi	Rostlagich- ning ishlashi	Gipoteza
q1,2=0,01	р1=0,95	Н1,2=0,855	0,99		0,846
q1=0,1	р2=0,90	Н1=0,095	0,90		0,085
q2=0,2		Н2=0,045	0,80		0,036
q0=0,6		Н0=0,005	0,40		0,002
А voqelik ehtimolligi				0,969

5. 
   misol. Zavodda ishlab chiqarilayotgan elektr dvigatellar R ehtimollikda nuqsonga ega bo‘lishi mumkin. Sifat nazorati sexiga topshirilgan har bitta dvigatel uchta nazoratchining faqat bittasi tomonidan baholanadi. Agar elektr dvigatellarda nuqsonlar bor bo‘lsa kontroller (nazoratchi) tomonidan
   

uni aniqlash ehtimolligi Ð_i (i=1,2,3). Elektr dvigatel nuqsoni sexda aniqlanib, uni yaroqsiz deb, ko‘rsatilmasa u keyingi bosqich sifat nazorati OTK dan o‘tkaziladi va bu yerda undagi nuqson ð₀ ehtimollikda aniqlanadi.
Elektr dvigatellardagi nuqsonlarning aniqlanish ehtimolligi quyidagi voqeliklarda sodir bo‘lishi mumkin.
A – elektr dvigatel yaroqsiz deb topilgan;
B – elektr dvigatel nuqsoni sexda aniqlangan;
C – elektr dvigatel nuqsoni OTKda aniqlangan.
Yechish. B va C voqeliklar bir vaqtda sodir bo‘lmaydigan voqeliklar ekanligini inobatga olib, A=B+C tenglama orqali ifodalaymiz. A voqelikning sodir bo‘lish ehtimolligi:
Ð(À)=Ð(Â+G)=Ð(Â)+Ð(G);
Elektr dvigatelning sexda yaroqsiz deb topish voqeligi Ð(Â) sodir bo‘lishi uchun elektr dvigatel nuqsonga ega bo‘lishi (M voqelik) va uning aniqlanishi (N voqelik) sodir bo‘lishi kerak.
Ð(Â)=Ð(ÌN)=Ð(Ì)Ð(N |Ì).
Mavjud nuqsonning sexda aniqlanishi ehtimolligini to‘la ehtimollik formulasi bilan aniqlaymiz:
1
Ð(N |Ì)= ₃ (ð₁+ð₂+ð₃).
Elektr dvigatelning nuqsonini sexda topilish ehtimolini quyidagi formula orqali topamiz:
^{P (B)  p1  p2  p3} .
3
Yuqoridagi tartibda P(C) ni hisoblaymiz:
P (C )  p ^1  ^{p1  p2  p3 }
 ₃  .
 
P(B) va P(C) bo‘yicha A voqelikning ehtimolligini (elektr motorning yaroqsiz deb topilishi) aniqlaymiz:

P (A)  p ^{p1  p2  p3}  pp
_{1 } p₁  p₂  p_{3 }

₃ 0 ^ ₃ ^{ .}
 