Va komunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi toshkent axborot texnalogiyalari universiteti

Tajribalarni takrorlashni asoslash

Elektr uskunalarni ekspluatatsiyalashda ularning biron bir ko‘rsatkichini o‘rganish bilan bog‘liq tajribalar o‘tkazish yoki kuzatuvni bir xil sharoitda bir necha marotaba takroran o‘tkazishga to‘g‘ri keladi. Ushbu holatda bir biridan bog‘liq bo‘lmagan tajribalar yoki kuzatuvlar natijasida biron voqelikni bir, ikki, uch yoki undan ham ko‘p marotaba yuzaga kelish imkoniyatini baholash zaruriyati tug‘iladi. Bir biri bilan bog‘liq bo‘lmagan (mustaqil) tajribalar deb ularning har birida biron bir (ayrim) voqelikni sodir bo‘lishi boshqa tajribalar natijalariga bog‘liq bo‘lmagan tajribalarni ataymiz.
Bir biriga bog‘liq bo‘lmagan n ta tajribaning har birida A voqelikning sodir bo‘lish ehtimolligi p, sodir bo‘lmaslik ehtimoligi esa q=1–p. n ta tajribada A voqelikning m marotaba sodir bo‘lishida (yuzaga kelishi) ehtimol-
ligini Ð_mn bilan belgilaymiz. Masalan, uchta tajribada (n=3) A uchun natijaning (voqelikning) sodir bo‘lishi 3, 2, 1 va 0 sonlarda qayd etilishi mumkin. 3 ta tajribada A voqelik sodir bo‘lishi natijalari va ehtimolligi 4.6-jadvalda keltirilgan.

4.6-jadval

Natijalar	ĀĀĀ	ĀĀA	AĀĀ	ĀAĀ	ĀAA	AĀA	AAĀ	AAA
Ehtimolligi	q3	q^2p	q^2p	q^2p	p^2q	p^2q	p^2q	p3
m	0	1	1	1	2	2	2	3

Uchta tajribadan birontasida ham A voqelik sodir bo‘lmaslik ehtimolligi
^{Ð03=3Ð03–Ð(} A A A ^{), 3 ta tajribaning bittasida A voqelik sodir bo‘lsa}

Ð₁₃=3q²p; P₁₃=P( A A A) yoki A A A yoki A A A va uchta tajribaning ikkitasida A voqelik sodir bo‘lsa:
Ð₂₃=3q²p;

Ð₂₃=(yoki A A A yoki A AA yoki AA A ); Ð₃₃=Ð ³. (4.4)
Ð_m3 ehtimollikni (q+p) ³ binomni yoyish orqali aniqlasa bo‘ladi.
n tajribada A voqelikning sodir bo‘lishi m marotaba, sodir bo‘lmaslik
ehtimoli n–m bo‘lganda bir-biri bilan bog‘liq bo‘lmagan ehtimolliklarni ko‘paytirish teoremasiga asosan p^m · q^n–m ko‘paytma bilan ifodalanadi.
Bunday natijalar soni n elementdan m bo‘yicha qancha (sochitaniy) tuzish mumkin bo‘lsa shuncha bo‘lishi mumkin.

n
_{Cm } n(n1) (nm1) _
m !
n !
m !(nm)! ^.

(4.5)

Ushbu natijalarning barchasining sodir bo‘lish ehtimolligi bir xil bo‘lgani uchun A voqelikning n tajribada m marotaba sodir bo‘lish ehtimolligi Ð_mn bitta natijaning ehtimolligini natijalar soniga ko‘paytmasi bilan ifodalanadi va Bernulli formulasi deb yuritiladi:

P  C^m p^mq^nm 
^{n !} _{ p}m_qnm _.

(4.6)

mn n
m !(nm)!

Ð_mn – Nyuton binomi (q+p)ⁿ ning yoyilgan a’zolarini aks ettiradi va shuning uchun uni ham ehtimolliklarning binomal taqsimlanishi deb hisoblaymiz.
Amalda n tajribalar A voqelikning kamida (eng kamida) k marotaba sodir bo‘lish ehtimolligini Ð_n(k) aniqlash zarur bo‘ladi va uni ehtimolliklarni qo‘shish teoremasi bo‘yicha aniqlanadi:

n




^Pn(k ) ^{ P}kn ^{ P}k 1,n ^{ P}k 2,n ^{ P}mn ^  ^{Cm pmqnm . (4.7)}

n
mk
Kamida 1 ta voqelik sodir bo‘lish ehtimolligi:
P_n(1)  1  qⁿ.

(4.8)

Biron bir voqelikni R dan kam bo‘lmagan ehtimollikda kamida bir marotaba sodir bo‘lishini tasdiqlash uchun o‘tkazilishi kerak bo‘lgan tajribalar soni quyidagicha topiladi:

. (4.9)
_{n } ln(1P )
ln(1 p)

5. 
   misol. Kun mobaynida bir birlik mahsulot olishga sarflanayotgan solishtirma energiya sarfi belgilangan me’yordan oshishi ehtimoli 0,8 bo‘lgan hol uchun yaqin 7 kun ichida 4 kun davomida solishtirma energiya sarfini me’yordan ortiq bo‘lish ehtimoli aniqlansin.
   

Yechish. Misol shartiga ko‘ra energiya sarfini n=7 kun davomida kuzatish mobaynida m=4 kun davomida uning miqdorini me’yordan oshish ehtimolini (Ð_4,7) topamiz; R=0,8 bo‘lgani uchun q=1–r = 1–0,8=0,2 bo‘lishini inobatga olgan holda ehtimollik Ð_4,7 ni Bernulli formulasi yordamida aniqlaymiz:
P  C ⁴ p⁴q³  ^{7(71)(72)(73)(74)} (0,8)⁴  (0,2)³  0,115.

4,7 7
1234

Tajribalar, kuzatuvlar soni (n) katta bo‘lganda n tajriba natijasida A voqelikning m marotaba sodir bo‘lish ehtimolligini (Ð_mn) Laplasning asimptolik formulasi yordamida quyidagicha hisoblanadi:

• 
  
  _t 2
  

P_mn 
1 _ 1
 e ² ;
_{t } mnp _.

Hisob ishlarini osonlashtirish uchun

(t ) 
¹  e
_{ t} 2
2

funksiya qiy-

matlari adabiyotlar yoki ma’lumotnomalarda keltiriladi.
Amalda n tajriba davomida A voqelikni k1 dan kam bo‘lmagan k2 dan ko‘p bo‘lmagan marotaba sodir bo‘lish ehtimolligini aniqlash ko‘proq uchraydi. Ushbu holda Laplas funksiyasini quyidagi shaklda ifodalaymiz:
P_{n(K1K2 )}  Ф(t₂ )  Ф(t₁ );

Ф(t ) 

¹  ^t e


0

• 
  _t 2
  

2

 dt

– maxsus funksiya.

Tajribalar soni n katta bo‘lgan va npq < 9 bo‘lgan hollarda Puasson formulasidan foydalaniladi:

P_mn 
_m_e


m !

; bu yerda  = np.

5. 
   misol. Zavodda tayyorlanayotgan cho‘g‘lanma lampalardan N foizi (N%) standart talablariga javob beradi. Ishlab chiqarilgan umumiy lampalar sonidan (bosh majmuadan) ajratib olingan 100 dona (n=100) cho‘g‘lanma lampalardan:
   

1. 
   l tasining nostandartligi ehtimolligi;
   
2. 
   k tadan kam bo‘lmagan nostandartlari borligi ehtimolini aniqlang. Ushbu masalani 2 variant uchun yechimini toping:
   

1) N=80%; l=18 ta; k=16 ta;
2) N=95%; l=7 ta.
Yechish. 1-variant uchun. Nostandart lampani aniqlash ehtimoli
N
Ð = 1– ₁₀₀ =0,2; q = 1–p = 0,8; npq = 100 · 0,2 · 0,8 = 16 > 9.
Laplas asimpitatik formulasi bilan 100 ta lampadan 18 tasining nostan- dartlik ehtimolini topamiz:

^P18,100 ^
1  (t );
_{t } 18np _ 1820 _{ } 1 _.
4 2

2-ilova, 2.1-jadvaldan (–1/2)=(1/2) uchun to‘g‘ri keladigan (t) ni qabul qilamiz: 0,3521 [1].
P  ¹  0,3521  0, 088.
18,100 ₄
k=16 uchun 100 ta lampadan kamida 16 ta nostandart lampalar aniq- lanish ehtimolini topamiz:

P  P
 ^{1 t2} e

• 
  _t 2
  

^{2 dt} ;

1
100(m16) 100(16,100) _{t
t  } 161000,2 _{ 1 ;}
1 ₄

^{t2   20} .
Laplas funksiyasi orqali (Ð₁₀₀(_16,100)) ni hisoblaymiz:
Ð₁₀₀(_16,100)=Ô(20) – Ô(–1)=0,5+0,34134  0,84.
(Ô(20)=0,5 âa Ô(–1)=0,34134 qiymatlar 2-ilovadan olingan [1].)
N
2-variant uchun. Ð=1– ₁₀₀ =0,05; npq = 100 · 0,05 · 0,95 < 9 aniq-
lanadigan ehtimollikni Puasson teoremasi yordamida ifodalaymiz:
 = np = 100 · 0,05 = 5;

 ⁵7 ^e5  ^{(2-ilova, 2.3-jadval).}

^P100(7)
0,104
7!

2. Ilmiy tadqiqotlarda statistik yondashuv

O‘rganilayotgan tasodifiy ehtimollik xarakteriga ega voqeliklar yoki ommaviy hodisalar qayd etilgan kuzatuv yoki eksperiment natijalarini tahlil qilish va ularni umumlashgan xarakteristikalarini olish maqsadida kuzatuv yoki tajribalar natijalariga maxsus matematik ishlov berish yo‘li bilan ke- rakli ma’lumotlar olish usullarini ishlab chiqish matematik statistikani aso- siy vazifasi hisoblanadi. Boshqacha aytganda matematik statistikani vazifasi ilmiy va nazariy xulosalar hosil qilish maqsadida statistik ma’lumotlarni to‘plash va ishlab chiqish metodlarini yaratishdir.

1. 
   misol. Parrandachilik fabrikasidagi 4A seriyali quvvati 5 kVt 150 dona asinxron motorlarni bir xil sharoitda (yuklamalari va atrof muhit sharoitlari bir xil) buzilmasdan ishlashi o‘rtacha vaqtini aniqlash kerak. Qo‘yilgan masalani yechish uchun 150 ta motordan (N=150 ta bosh majmuadan)
   

25 tasini (n=25 ta tanlama majmuani) ajratib olib, ularni buzilmasdan ishlash vaqtini kuzatib natijalarni 4.7-jadvalda qayd etamiz.
4.7-jadval

Kuzatish natijalari:

¹1-5,0y;	¹6-5,2y	¹11-4,5y	¹16-4,4y	¹21-3,8y
¹2-4,3y	¹7-5,3y	¹12-4,6y	¹17-4,0y	¹22-3,9y
¹3-6,0y	¹8-5,5y	¹13-4,7y	¹18-4,9y	¹23-6,1y
¹4-4,3y	¹9-5,6y	¹14-4,8y	¹19-5,8y	¹24-6,2y
¹5-4,6y	¹10-5,7y	¹15-5,1y	¹20-5,9y	¹25-6,3y

Qayd etilgan natijalardan faqatgina bitta xulosaga kelish mumkinki, ya’ni o‘rganilayotgan 25 ta elektr motorning ishlash muddati 3,8 yildan 6,3 yilgacha oraliqda o‘zgaradi (4.5-rasm). Boshqacha aytganda ushbu oraliqdagi tasodifiy sochilgan natijalar qayd qilingan.

3,8 yil va 6,3 yil oralig‘ida qayd etilgan tasodifiy kattaliklar (voqeliklar) bir nechta omillarga: dvigatellar ulangan elektr ta’minot tizimidagi kuch- lanish, chastota, motorlar yuklamalarining o‘zgarishiga va h.k.larga bog‘- liq bo‘lib, ushbu omillar boshqarilmaydigan omillar hisoblanadi.
Boshqa bir misol: mustaqil qo‘zg‘atishli o‘zgarmas tok elektr dvigatelning iste’mol quvvati (Ð_ist), kuchlanish (U_d=ñonst) o‘zgarmas bo‘lganda, elektr motor iste’mol qilayotgan tok kuchiga (I_d) proporsional tarzda o‘zgaradi (I_d =I_ya+I_s elektr dvigatel yakor va stator toklari yig‘indisi).
Ushbu bog‘liqlikni analitik, ya’ni formula yordamida quyidagicha
ifodalash mumkin:
P_ist  I_d U _d . (4.10)

Dvigatellarning buzilmasdan ishlash vaqti
Dvigatellar tartib raqami
4.5-rasm. Elektr motorlar buzilmasdan ishlash vaqtini kuzatish natijalarining sochilgan holda joylashishi.




4.6-rasm. O‘zgarmas tok motorning iste’mol quvvatini (Ð_ist) dvigatel yakor zanjiri orqali o‘tayotgan tok kuchiga (I_d) bog‘liqlik grafigi Ð_ist =f (I_d).
Ushbu analitik bog‘liqlik to‘g‘ri chiziq bo‘lib, uni 4.6-rasmdagi grafik orqali ifodalash mumkin.
Kuchlanish U o‘zgarmas bo‘lganda yakor toki I ning turli qiymati uchun dvigatel iste’mol quvvatini aniq hisoblash mumkin.
Matematik formula, ya’ni P_ist  I_d U _d yordamida qurilgan grafikning Ð_ist=f (I_d) aniqligi eng yuqori darajada bo‘ladi, ya’ni tokning I_d1, I_d2, I_d3, I_d4, I_d5, I_d6 qiymatlari uchun formula yordamida hisoblab topilgan quvvatlar
Ð_ist1, Ð_ist2, Ð_ist3, Ð_ist4, Ð_ist5, Ð_ist6 tasodifiylik ehtimolligidan holi.
Ushbu grafikni eksperiment (tajriba) natijalari bo‘yicha qurilganda, ya’ni o‘rganilayotgan elektr motorni tarmoqga ulanish zanjiriga o‘rnatilgan vattmetr
^{orqali iste’mol qilayotgan quvvatini (} P_is^_t ^{) va ampermetr bo‘yicha tokini I} o‘lchash natijalari 4.6-rasmda belgilab chiqilganda uchta takrorlangan tajribada tokning bir xil qiymatiga turli xil quvvat to‘g‘ri kelishini ko‘ramiz. Birinchi misolda olingan natijalar (voqeliklar) tasodifiylik ehtimolligi elektr tarmoqda kuchlanish U ni tok chastotasi f ni, motorning yuklanishi
o‘zgarib turishi va boshqa boshqarilmaydigan omillar bilan bog‘liqdir.
Ikkinchi misolda esa formula bo‘yicha qurilgan grafikdan Ð=f (I_s) vattmetr va ampermetr ko‘rsatkichlari bo‘yicha qurilgan grafik – Ð =f (I_s) orasidagi farq, ya’ni o‘lchov natijalarini tasodifiylik ehtimolligi o‘lchov aniqligiga bog‘liq.
Shunday qilib yuqoridagi misollar tahlili tasodifiy voqelik yoki tasodifiy kattaliklarni yuzaga kelishini ikkita manba mavjud bo‘lishi mumkin degan xulosa olib keladi.
Birinchi manba – tadqiqot olib borilayotgan obyektga katta miqdordagi boshqarilmaydigan, ko‘p hollarda hisobga olinmaydigan omillar ta’siri.
Ikkinchi manba – determinal kattaliklarni o‘lchov noaniqligi ta’siri.
Tasodifiy kattaliklarning yuzaga kelish manbayi sababidan qat’iy nazar ular asosida ma’lumot bir qonuniyat yotadi va bu kattaliklar (voqeliklar) qancha ko‘p o‘rganilsa ularni ifodalovchi qonuniyatlar shuncha aniqlashadi (oydinlashadi).

3.