Vaqtli qatorlar va prognozlash asoslari by Abdumalik Soliev Vaqtli qatorlar

Koʻrsatkichli funksiyalar qoidasi 
Yuqoridagi misoldan x2 - ning hosilasi 2x-ga teng ekanligini koʻrish mumkin. Xuddi shunday, x³-ning hosilasi 3x², x4-ning hosilasi 4x3-ga teng va hokazo ekanligini isbotlash mumkin. Ko‘rsatkichli funksiyalar qoidasi buni umumlashtiradi va d/dx (xⁿ)=nx^n-1 koʻrinishida ifodalanadi.
Logarifmik/eksponentsial funksiyalarning hosilalari

• 
  ln(x) - ning hosilasi d/dx (ln x) = 1/x - ga teng
  
• 
  log(x) - ning hosilasi d/dx (log_ax) = 1/(x lna) - ga teng
  
• 
  e^x - ning hosilasi d/dx (e^x) = e^x  - ga teng
  
• 
  a^x - ning hosilasi d/dx (a^x) = a^x ln a - ga teng
  

Trigonometrik funksiyalarning hosilalari 

• 
  sin(x) -ning hosilasi d/dx (sin(x)) = cos(x) - ga teng
  
• 
  cos(x) -ning hosilasi, d/dx (cos(x)) = -sin(x) - ga teng
  
• 
  tan(x) -ning hosilasi, d/dx (tan(x)) = sec²(x) - ga teng
  
• 
  cot(x) -ning hosilasi, d/dx (cot(x)) = -cosec²(x) - ga teng
  
• 
  sec(x) -ning hosilasi, d/dx (sec(x)) = sec(x) tan(x) - ga teng
  
• 
  cosec(x) -ning hosilasi, d/dx (cosec(x)) = -cosec(x) cot(x) - ga teng
  

Continued
Hosilalarning asosiy qoidalari
Quyida funksiyalarni differentsiallashning asosiy qoidalari keltirilgan.

• 
  bullet
  

Koʻrsatkichli funksiyalar qoidasi: Bu qoidaga koʻra, agar  y = xⁿ , boʻlsa, bu funksiyaning hosilasi dy/dx = nx^n-1 ga teng boʻladi.
Masalan: d/dx (x⁵) = 5x4. 

• 
  bullet
  

Funksiyalarning yigʻindisi yoki farqi qoidasi: hosilalarni hisoblash jarayonini qoʻshish/ayirishga ajratish mumkin, ya’ni
dy/dx [u ± v]= d(u)/dx ± d(v)/dx. 

• 
  bullet
  

Ikki funksiyaning koʻpaytmasi qoidasi: Hosilalar koʻpaytmasi qoidasi shuni koʻrsatadiki, agar funksiya ikki funksiyaning hosilasi boʻlsa, unda uning hosilasi ikkinchi funksiya hosilasining birinchi funksiyaning hosilasiga qoʻshilgan birinchi funksiyaning hosilasiga koʻpaytirilgan, ikkinchi funksiyaga koʻpaytirilgan ikkita funksiyaning koʻpaytmasiga teng boʻladi: d/dx [u × v] = u · dv/dx + v · du/dx. Agar y = x⁵ · ex , boʻlsa, biz quyidagiga ega boʻlamiz: y' = x⁵ · e^x + e^x · 5x⁴ = e^x · (x⁵ + 5x⁴) 

• 
  bullet
  

Ikkita funksiyaning boʻlinmasi qoidasi: Boʻlinmalar qoidasi quyidagicha ifodalanadi:
d/dx (u/v) = (v · d(u)/dx - u · d(v)/dx)/v²

• 
  bullet
  

Funksiya va doimiy son koʻpaytmasining hosilasi qoidasi: Funksiya va doimiy sonning koʻpytmasi hosilasi qoidasi quyidagicha ifodalanadi:  d/dx [c(f(x)] = c · d/dx f(x) ya’ni differentsiatsiyalash jarayoni funksiya koʻpaytirilgan doimiy songa ta’sir qilmaydi.
Masalan, d/dx (5x²) = 5 · d/dx (x²) = 5(2x) = 10x.

• 
  bullet
  

Doimiy son hosilasi qoidasi: Doimiy son hosilasi qoidasi har qanday doimiy sonning hosilasi 0 ga teng ekanligini bildiradi. Agar y = k boʻlsa, bu yerda k doimiy son, d(y)/dx = 0 -ga teng bo'ladi
Faraz qilaylik, y = 4, y' = 0. Bu qoida bevosita koʻrsatkichli funksiyalar qoidasidan kelib chiqadi.
Tarkiblashgan funksiyalarning hosilalari
Faraz qilaylik, f va g differensiallanuvchi funksiyalar, u holda f(g(x)) ham differensiallanadi.