Xatoliklarini aniqlash va ularni bartaraf etish masalalari xam yetarlicha tadqiq etilmagan

Xossalari:

y=sinx formulalar bilan berilgan y=cosx funksiyalar asosiy trigonometrik funksiya deyiladi.

1. Хossa. y=sinx va y=cosx funksiyalar xar-biri davriy funksiyalar bo’lib davri 2 ga teng

2. Хossa. y=sinx va y=cosx |sinx| (|cosx|) munosabat o’rinli.

3. Хossa. y=tgx va y=ctgx funksiyalar davriy bo’lib davri ga teng.

4. Хossa. y=sinx funksiya grafigi sinusoida , y=cosx funksiya graf cosinusoida

5. Хossa. y=sinx funksiya toq funksiya y=cosx funksiya juft funksiya

M:
y

-1 1
1. Sodda trigonometrik tenglamalar.

1-misol. tenglamani yeching.





Javob:

2-misol. tenglamani yeching.



Javob:

2. Algebraik tenglamalarga keltiriladigan tenglamalar.

3-misol. sinx–cos2x=0 tenglamani yeching.

1–cos2x=2sin²x  –cos2x=2sin²x–1

ekanligini e'tiborga olsak berilgan tenglama 2sin²x+sinx–1=0 tenglamaga teng kuchli.



Bundan sinx=–1 yoki tenglamalarga ega bo’lamiz.

Bularni echsak lar hosil bo’ladi. Agar n=2k desak agar, n=2k+1 desak

natijada

larga ega bo’lamiz. Bu uchta yechimni birlashtirib uni ko’rinishda ifodalash mumkin. haqiqatan ham, agar m=3k–1 desak , agar m=3k desak, agar m=3k+1 desak yechimlar kelib chiqadi. Demak,

3. sinx va cosx larga nisbatan birjinsli bo’lgan tenglamalar.

4-misol. 2sin²x+3sinxcosx+cos²x =0 tenglamani yeching.

Yechish. Berilgan tenglama birjinsli bo’lgani uchun cos²x0, tenglamani har ikki tomonini cos²x  0 ga bo’lib.

2tg²x+3tgx+1=0 tenglamani hosil qilamiz. Bundan tgx=t deb

2t³+3t+1=0 ga ega bo’lamiz, buni echamiz: yoki



Demak,

Javob:

4. Ko’paytuvchilarga ajraladigan tenglamalar.

7-Misol. 2sin³x+cos2x=sinx sinx(2sin²–1)+cos2x=0

 sinxcos2x+cos2x=0 cos2x(sinx+1)=0 

Javob:

5. Yig’indini ko’paytmaga keltirib yechiladigan tenglamalar.

8-Misol. sinx+sin2x+sin3x=0  sin2x+2sin2xcosx=0





Bu erda formuladan foydalanildi.

Javob :

7. Darajasi pasaytirilib yechiladigan tenglamalar.

formulalardan foydalaniladi

9-Misol. 2sin²x+cos²4x1–cos2x+cos4x=0 

 1+cos4x–cos2x=0  2cos²2x–cos2x=0  cos2x=0,

Javob:

8. a sinx+b cosx=c ko’rinishdagi tenglamalar.

11-misol. 12 cos2x–5 sin2x=–13 tenglamani yeching.

Yechish: 12²+(–5)²=(–13)² bo’lgani uchun berilgan tenglamani har ikki tomonini 13 ga bo’lsak.

ni hosil qilamiz.

ni e’tibor olsak ,

tenglikni qanoatlantiruvchi  burchak mavjud, shuning uchun

cos cos2x+sinsin2x=–1  cos(2x–)=–1 

 2x–=+2k 

Javob:

III. Triganometrik tengsizliklarni yechish

1. sin x < a

a	M
–1	––arcsina+2k
a>1	R
a1	

2. sinx>a

a	M
–1 a < 1	arcsina+2k < x <  –arcsin a+2k, kZ
a <–1	R
a  1	

1. cos x >a

A	M
–1< a  1	arccosa+2k
a>1	R
a1	

4. cosx > a

a	M
–1 a < 1	–arccosa+2k < x < arccos a+2k, kZ
a <–1	R
a  1	

5.

6.

7. ctgx< a  arcctga+k < x < +k, k  Z.

8. ctgx>a  k < x < arcctga +k, k Z.

VI. O’quvchilarni yo’l qo’yadigan xatoliklarini oldini olish usullarini quyidagi tiplarga ajratish maqsadga muvofiqdir.

1. Har bir mavzuni o’tayotganda uning asosiy tomonlariga e’tiborni ko’proq qaratmoq va xatolarga yo’l qo’ymaslikka undash. Masalan tenglama va tengsizliklarni yechish jarayonida ularning yechimlarini olishda anqlanish sohasiga e’tiborni qaratmoq kerak.

2. Topilgan javoblarni shu masalaning yechmi ekanligini tekshirish usuli bilan.

1. Xato yechilgan masala yoki misoldagi xatoni topish usuli bilan.

2. Pog’onali yozma ishlar o’tkazsh yo’li bilan.

3. O’quvchilarga test topshirqlarini tuzdirb, ularda to’g’ri javob bilan birgalikda olinadgan noto’g’ri javoblarni asosli tanlash usuli bilan.

4. O’quvchilarning bilmagan mavzulari bo’yicha qo’shimcha darslar uyushtirish usuli bilan.

5. Umuman olganda har bir mavzuni muk ammal o’tish, o’quvchilarni bu mavzularni mukammal o’zlashtira olganliklarini aniqlash maqsadga muvofiqdir.








Yoki bo‘lgan uchun -4;-3;-2;-1;0;1;2;3  8 ta Javob 10 ta

To‘g‘ri echish:

Butun echim ildiz.

SHu sababli javob: 9 ta

II. Masalan: ctg(x+1) tg(2x-3)=1 tenglamani eching.

Noto‘g‘ri eching: (x+1)=(2x+3) x=4. Javob: 4

To‘g‘ri echim: x+1=2x-3 dan x=4 topiladi. So‘ngra tgx va ctgx larni davri bir gul bo‘lganligi umumiy echim x=4+n, n z ko

Javob: x=4+n, n z

III. sinx=cosx tenglamani eching.

Noto‘g‘ri eching: sin=cos bo‘lishi ildiz bo‘lishi kerak deygan formuladan ,

Javob:

To‘g‘ri echim: 1) olonadi., ya’ni

,
2) sin=cos bo‘lishi uchun bo‘lishi ham kerak, isboti: .

bo‘ladi.

ham echiladi.

Javob: va

Masala: tenglamaning eching. Noto‘g‘ri echim:



Bu olgan javobga kelinadi. Javob:

to‘g‘ri yechim:

X=n, nz yechish olinadi. yechim chunki. sinx 0 x R ga II chorak

bo‘lib qoladi.

Keyin bu ikkala bir yo‘q. Javob:

5. Misol. (cosx+3) |x-6|× (x-2)=0

Noto‘g‘ri echim: cosx+3 xÎ R da musbat |x-6| xÎ R da noto’g’ri
deb x-2£ 0 qilib chiqadi. x £ 2 . Javob: (-¥;2].

To‘g‘ri echim: cosx+3 xÎ R da musbat

|x-6| xÎ R

Deyiladi va x=6 agar javobda bo‘lmasa javobga nuqta sifatida qo‘shiladi deb

x-2£ 0 x£ 2 lekin bu echimda x=6 sonli yo‘q. SHu sababli x=6 javobga qo‘shib olamiz.

Javob: .

Masala: arcsinx=arcctgx tenglamani eching.

Echish: noto‘g‘ri echim: dan foydalanib: ni olamizyu va -1£ x £ 1 deb yechamiz:




Javob

To‘g‘ri echim: Javob: