Xatoliklarini aniqlash va ularni bartaraf etish masalalari xam yetarlicha tadqiq etilmagan

2.6 -§. Akademik litsey va kasb-hunar kollejida talabalar tomonidan yo’l qo’yadigan tipik xatoliklar
Akademik litsey va kasb-hunar kollejlari matematika dasturining ko’proq qismini hosila tushunchasi, hosilaning tadbiqlari, hosilaning funksiyalarni tekshirishga tadbig’i boshlang’ich funksiya va integral tushunchalari egallaydi. Bu kabi mavzularni o’tishda o’quvchilar tomonidan tipik xatoliklarga yo’l qo’yilishi ko’proq uchrab turadi.

Misollar:

1-misol. Y=x²+6x-8 funksiyani monotonlikka tekshiring. Buning uchun quyidagi teoremalardan foydalanamiz.

Teorema. Agar y=f(x) funksiya (a;b) intervalda chekli f’(x) hosilaga ega bo’lib, (a;b) intervalda f’(x)>0 (f’(x)<0) bo’lsa, y=f(x) funksiya (a;b) intervalda o’suvchi (kamayuvchi) bo’ladi.

Teoremadan quyidagi hulosalarga kelish mumkin. Agar (a;b) intervalda f’(x)>0 bo’lib x=a (x=b) nuqtada uzluksiz bo’lsa, y=f(x) funksiya [a;b) ((a;b]) yarim segmentda ham o’suvchi bo’ladi. Agar x=a va x=b nuqtalarning har birida uzluksiz bo’lsa, y=f(x) funksiya [a;b] segmentda o’suvchi bo’ladi.

Y=-x²+6x-8 funksiyaning aniqlanish sohasi D(y)=(- ;+) y’=-2x+6, -2x+6=0, x=3

Hosilaning noli yordamida aniqlanish sohasini intervallarga ajratamiz. (-;3) ; (3; )

(-;3) da f’(x)>0 o’suvchi x=3 da uzluksiz bo’lgani uchun (-;3] da o’suvchi. Shu kabi [3; ) da kamayuvchi boladi. X=3 nuqtada uzluksizligini unutgan o’quvchi bu misolni test ko’rinishda

A) (-;3) B) (-;3] C) (3;+ ) D) o’suvchi emas.

Javoblar bilan o’suvchi oralig’I so’ralgan bo’lsa A) noto’g’ri javobni tanlashi mumkin.

O’quvchi yuqoridagi holatlarda bizningcha :

1. O’suvchi va kamayuvchi funksiyalar tarifiga e’tibor bermasdan, X to’plamning har bir nutasida o’suvchi (kamayuvchi) bolgan funksiya X to’plamda o’suvchi (kamayuvchi) deyildi deb qarash xato fikrga olib keladi.

Funksiyaning monotonlikka intervali bilan uning monotonlik sohasini farqlay olmaslikdan xatoliklarga yo’l qo’yishlari mumkin.

2-misol. funksiyani [1;6] oraliqda eng katta va eng kichik qiymatini toping.

Bu masalani bir guruh o’quvchilar quyidagicha yechadilar. Funksiyaning aniqlanish sohasi x≠0 bo’lgan barcha sonlar toplanishidan iborat.

Funksiyaning kritik nuqtalarini quyidagicha topadi.

tenglamani echamiz


a) X=4 bo’lganda f(4) =1 b) x =-4 bo’lganda f(-4) = -1 larni topib +1 eng

katta, -1 eng kichik qiymatini topadilar, bu esa noto’g’ri javob. To’g’ri yechim: x≠0 bo’lgan barcha sonlar to’plami.

tenglamani echamiz

X = 0 bo’lganda f(4) =1, x = -4 nuqta berilgan oraliqqa qrashli emas, shuning uchun

kesmaning oxirlarida funksiyaning qiymatlarini topamiz. X = 1 bo’lganda



x = 6 bo’lganda bo’ladi.

To’g’ri javob 1) funksiyaning eng katta qiymati,

2) f(x) = 1 funksiyaning eng kichik qiymatidan iborat.

Test. 1) funksiyaning [1;6] oraliqda eng katta va eng kichik qiymatini toping.

3. Hosilaga oid masalalarni hal qilishda tenglama va tengsizliklarni yechishga to’g’ri keladi. Quyida tenglama va tengsizliklarni yechishda yo’l qo’yilgan tipik xatoliklarga misollar keltiramiz.

3– misol. f(x) = x³+2.5x²-2x funksiyaning maksimum nuqtadagi qiymatini toping.

A) -8 B) 6 C)10 D) -12 E) 14

Yechish: f’(x) = 3x²+5x – 2 f’(x) = 0 ni hisoblaymiz.

+ _ +

-2 _

x = -2 funksiya maksimum nuqtasiga erishadi.

f_max = f(-2) = -8+10+4 = 6 to’g’ri javob B)

4– misol. tengsizlikni yeching.

Yechish: bazi o’quvchilar bu testni quyidagicha yechadilar.

javob A) bu noto’g’ri javob , chunki o’quvchi tengsizlikning har ikki tomonini x+3 ga ko’paytirdi. Bu yechim faqat

X+3 >0 bo’lgandagina to’g’ri bo’ladi. Aslida bu quyidagicha yechilsa to’g’ri bo’ladi.



5 – misol. tengsizlikni yeching.

( -_; _) B) ( 1; _) C) [_; +_) D) [_; 2] E) ( -_; 1) (_; +_)

Yechish: Bu test topshirig’ini bir guruh o’quvchilar tengsizlikni har ikki tomonini

2 – darajaga ko’tarib , tengsizlik belgisini saqlab qolgan holda 2x² – 5x + 3 <0 yoki

2(x-1)(x-) < 0 tengsizlikni hosil qiladi va B) javob ekanligiga ishonch hosil qiladilar , bu esa noto’g’ri javob. Aslida berilgan tengsizlikni o’ng tomonini manfiy bo’lganligi

sababli berilgan tengsizlik ( x+2 )( 1-2x) _0 yoki 2( x-2)( x-) _0

tengsizlikka teng kuchli bo’lib D) to’g’ri javob ekanligiga ishonch hosil qilamiz.

6-misol funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

Yechish. Berilgan funksiyani aniqlanish sohasini topamiz, kvadrat ildiz ostidagi ifoda manfiy bo’lmaskigi kerak.

to’g’ri javob C)

7-misol. tenglama kesmada nechta ildizga ega.

Yechish:

ko’p hollarda ildizni hisobga olmasdan javobni to’g’ri javob deb qabul qiladi. Aslida javob to’g’ri.

8-misol. Uchbuchakning tomonlari 1, 2 va 3 ga teng. Uchburchakning B uchidan tushurilgan medianasini toping.

Yechish: Berilgan topish kerak ni. to’g’ri javob

9-misol. Trapetsiyaning o’rta chizigi 27, asoslarining ayirmasi 6 ga teng. Trapetsiyaning asoslarini toping.

Yechish: Trapetsiyaning asoslari a va b bo’lsin, masala shartiga ko’ra

to’g’ri javob

10-misol. Yo’g’ri burchakli uchburchak uchidagi burchagi , asosi a bo’lsa, uning perimetrini toping.

Yehish: Berilgan uchburchak yon tomonini b deb belgilasak

bo’ladi. Bundan berilgan uchburchakning perimetri to’g’ri javob C).